Koşullu olasılık, bir olayın gerçekleştiği bilindiğine göre, başka bir olayın gerçekleşme olasılığıdır. Yani, önceden bir bilgimiz varken olasılığı yeniden hesaplamamızdır.
A ve B, bir E örnek uzayının iki olayı olsun. B olayının gerçekleştiği bilindiğinde, A olayının gerçekleşme olasılığına A'nın B koşullu olasılığı denir ve P(A | B) şeklinde gösterilir.
Bu olasılık şu formülle hesaplanır:
P(A | B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) , P(B) > 0
Burada;
İçinde 3 kırmızı (K) ve 2 mavi (M) top bulunan bir torbadan art arda iki top çekelim. İlk çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, ikinci topun da kırmızı olma olasılığını bulmak isteyelim.
Burada koşulumuz (B olayımız): "İlk topun kırmızı" olmasıdır. Aradığımız olasılık (A olayımız) ise: "İkinci topun kırmızı" olmasıdır. Yani P(İkinci K | İlk K)'yı arıyoruz.
İlk top kırmızı çekildiğinde, torbada 2'si kırmızı, 2'si mavi olmak üzere 4 top kalır. İkinci topun kırmızı olma olasılığı, kalan kırmızı topların sayısının (2) kalan toplam top sayısına (4) oranıdır.
P(İkinci K | İlk K) = \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
Bu sonucu formülle de doğrulayalım:
Formülde yerine koyalım:
P(İkinci K | İlk K) = \(\frac{P(\text{İlk K} \cap \text{İkinci K})}{P(\text{İlk K})} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{5}} = \frac{3}{10} \times \frac{5}{3} = \frac{1}{2}\)
Görüldüğü gibi her iki yoldan da aynı sonucu \(\frac{1}{2}\) bulduk.
Koşullu olasılık, günlük hayatta sıkça kullandığımız bir mantıktır. "Yağmur yağdığına göre (koşul), trafiğin sıkışık olma ihtimali" veya "Bir hastanın test sonucu pozitif çıktığına göre (koşul), hasta olma ihtimali" gibi durumlar koşullu olasılıkla modellenebilir. Olasılık hesaplarında yeni bir bilgi edindiğimizde, bu bilgiyi hesaba katmamızı sağlar.
Soru 1: Bir sınıfta 12 kız ve 18 erkek öğrenci vardır. Kız öğrencilerin 8'i, erkek öğrencilerin ise 12'si gözlük kullanmaktadır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlük kullandığı bilindiğine göre, bu öğrencinin erkek olma olasılığı kaçtır?
a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 1/2
Cevap: c) 3/5
Çözüm: Koşullu olasılık formülü P(A|B) = P(A∩B) / P(B) ile hesaplanır. Gözlük kullanan erkek sayısı 12, toplam gözlük kullanan öğrenci sayısı 8+12=20'dir. İstenen olasılık 12/20 = 3/5'tir.
Soru 2: İçinde 4 mavi, 6 yeşil top bulunan bir torbadan art arda iki top çekiliyor. İlk çekilen topun yeşil olduğu bilindiğine göre, ikinci topun da yeşil olma olasılığı kaçtır?
a) 1/3 b) 2/9 c) 5/9 d) 1/2 e) 2/3
Cevap: c) 5/9
Çözüm: İlk top yeşil olduğu için torbada 5 yeşil ve 4 mavi top kalmıştır. Toplam top sayısı 9'dur. İkinci topun yeşil olma olasılığı 5/9'dur.
Soru 3: Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayının 3'ten büyük olduğu bilindiğine göre, paranın yazı gelme olasılığı kaçtır?
a) 1/6 b) 1/3 c) 1/2 d) 2/3 e) 5/6
Cevap: c) 1/2
Çözüm: Zarın 3'ten büyük gelmesi (4,5,6) 3 farklı durumdur. Her zar durumu için para (yazı, tura) 2 farklı şekilde gelebilir. Toplam 3*2=6 durum vardır. Paranın yazı geldiği ve zarın 3'ten büyük olduğu (4Y,5Y,6Y) 3 durum vardır. Koşullu olasılık 3/6 = 1/2'dir.
Soru 4: Bir şirkette çalışanların %60'ı erkek, %40'ı kadındır. Erkeklerin %30'u, kadınların ise %20'si yabancı dil bilmektedir. Bu şirketten rastgele seçilen bir çalışanın yabancı dil bildiği bilindiğine göre, bu çalışanın kadın olma olasılığı kaçtır?
a) 4/13 b) 4/9 c) 5/13 d) 5/9 e) 1/2
Cevap: a) 4/13
Çözüm: Toplam çalışan sayısı 100 kabul edilirse, dil bilen erkek sayısı 60*0.30=18, dil bilen kadın sayısı 40*0.20=8'dir. Toplam dil bilen 18+8=26 kişidir. İstenen koşullu olasılık P(Kadın|Dil) = 8/26 = 4/13'tür.
