Bir okuldaki öğrencilerin %80'i basketbol, %70'i voleybol oynamaktadır. En az bir sporu oynayanların oranı %90 olduğuna göre, her iki sporu da oynayanların oranı yüzde kaçtır?
A) %50Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, iki farklı spor dalıyla ilgilenen öğrencilerin oranları verilmiş ve her iki sporu da yapanların oranını bulmamız isteniyor. Bu tür problemleri çözerken küme teorisindeki temel prensipleri kullanabiliriz. Adım adım ilerleyelim:
Soruda bize şu bilgiler verilmiştir:
Basketbol oynayan öğrencilerin oranı: $80\%$
Voleybol oynayan öğrencilerin oranı: $70\%$
En az bir sporu oynayan öğrencilerin oranı (yani basketbol veya voleybol veya her ikisini oynayanlar): $90\%$
Bizden istenen: Hem basketbol hem de voleybol oynayan öğrencilerin oranı.
İki kümenin birleşiminin eleman sayısını bulmak için kullandığımız genel bir formül vardır. Bu formülü yüzdeler için de uygulayabiliriz:
(A veya B yapanların oranı) = (A yapanların oranı) + (B yapanların oranı) - (Hem A hem B yapanların oranı)
Matematiksel olarak bu formülü şöyle ifade edebiliriz:
$P(B \cup V) = P(B) + P(V) - P(B \cap V)$
Burada $P(B \cup V)$ en az bir sporu oynayanları, $P(B)$ basketbol oynayanları, $P(V)$ voleybol oynayanları ve $P(B \cap V)$ ise hem basketbol hem de voleybol oynayanları temsil eder.
Şimdi soruda verilen yüzdeleri formülümüze yerleştirelim:
$90\% = 80\% + 70\% - P(B \cap V)$
Şimdi $P(B \cap V)$ değerini bulmak için denklemi adım adım çözelim:
Önce sağ taraftaki toplama işlemini yapalım:
$80\% + 70\% = 150\%$
Denklemimiz şu hale gelir:
$90\% = 150\% - P(B \cap V)$
Şimdi $P(B \cap V)$'yi yalnız bırakmak için denklemin diğer tarafına atalım ve $90\%$ 'ı da karşıya atalım:
$P(B \cap V) = 150\% - 90\%$
Son olarak çıkarma işlemini yapalım:
$P(B \cap V) = 60\%$
Bu durumda, öğrencilerin $60\%$ 'ı hem basketbol hem de voleybol oynamaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
