Kümelerde birleşim ve kesişim özellikleri Test 1

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7} kümeleri veriliyor. (A ∩ B) ∪ (A \ B) işleminin sonucu nedir?

A) {1, 2, 3, 4, 5}
B) {3, 4, 5}
C) {1, 2, 6, 7}
D) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, kümelerle ilgili temel işlemleri adım adım uygulayarak doğru sonuca ulaşacağız. Kümeler konusunu pekiştirmek için harika bir fırsat!

• Verilen Kümeleri İnceleyelim:

  Öncelikle bize verilen kümeleri bir hatırlayalım:

  • $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
  • $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$

  Bizden istenen işlem ise $(A \cap B) \cup (A \setminus B)$ işleminin sonucunu bulmak.

• Adım 1: $A \cap B$ (A kesişim B) İşlemini Bulalım

  İki kümenin kesişimi, her iki kümede de ortak olarak bulunan elemanlardan oluşur. $A$ ve $B$ kümelerindeki ortak elemanlara bakalım:

  • $A = \{1, 2, \mathbf{3, 4, 5}\}$
  • $B = \{\mathbf{3, 4, 5}, 6, 7\}$

  Gördüğümüz gibi, $3, 4$ ve $5$ elemanları her iki kümede de bulunmaktadır. O halde:

  • $A \cap B = \{3, 4, 5\}$
• Adım 2: $A \setminus B$ (A fark B) İşlemini Bulalım

  Bir kümeden diğerini çıkarmak (fark işlemi), ilk kümede olup ikinci kümede olmayan elemanları bulmak demektir. Yani $A$ kümesinde olup $B$ kümesinde olmayan elemanları arıyoruz:

  • $A = \{\mathbf{1, 2}, 3, 4, 5\}$
  • $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$

  $A$ kümesindeki $1$ ve $2$ elemanları $B$ kümesinde yoktur. $3, 4, 5$ elemanları ise $B$ kümesinde de olduğu için fark kümesine dahil edilmezler. O halde:

  • $A \setminus B = \{1, 2\}$
• Adım 3: $(A \cap B) \cup (A \setminus B)$ (Birleşim) İşlemini Bulalım

  Şimdi bulduğumuz iki kümenin birleşimini alacağız. Birleşim işlemi, iki kümedeki tüm elemanları (tekrarlamadan) bir araya getirmek demektir:

  • $A \cap B = \{3, 4, 5\}$
  • $A \setminus B = \{1, 2\}$

  Bu iki kümeyi birleştirdiğimizde, tüm elemanları tek bir kümede toplarız:

  • $(A \cap B) \cup (A \setminus B) = \{3, 4, 5\} \cup \{1, 2\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

  Dikkat ederseniz, bu sonuç aslında $A$ kümesinin kendisidir. Bu durum, kümeler teorisinde bilinen bir özelliktir: $(A \cap B) \cup (A \setminus B) = A$.

• Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz sonuç $\{1, 2, 3, 4, 5\}$'tir. Seçeneklere baktığımızda:

  • A) $\{1, 2, 3, 4, 5\}$
  • B) $\{3, 4, 5\}$
  • C) $\{1, 2, 6, 7\}$
  • D) $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$

  Sonucumuz A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.