Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin oluşturduğu parçaları kullanarak kenar uzunlukları arasındaki oranı bulacağız. Bu tür soruları çözerken Öklid Teoremleri'ni hatırlamak bize çok yardımcı olacaktır. Haydi adım adım çözümümüze başlayalım!
- Verilenleri Anlayalım:
- Bir $ABC$ dik üçgenimiz var ve $A$ açısı $90^\circ$. Bu, $BC$ kenarının hipotenüs olduğu anlamına gelir.
- $BC$ kenarına ait yükseklik, hipotenüsü $2$ cm ve $8$ cm'lik iki parçaya ayırıyor. Bu yüksekliğe $AD$ diyelim, burada $D$ noktası $BC$ üzerindedir.
- Bu durumda, $|BD| = 2$ cm ve $|DC| = 8$ cm (veya tam tersi, sonuç değişmeyecektir).
- Hipotenüsün Toplam Uzunluğunu Bulalım:
- Hipotenüs $BC$ kenarının toplam uzunluğu, bu iki parçanın toplamıdır: $|BC| = |BD| + |DC| = 2 + 8 = 10$ cm.
- Öklid Teoremleri'ni Hatırlayalım:
- Bir dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik, üçgenin kenarları ve hipotenüsün parçaları arasında özel ilişkiler kurar. Bu ilişkilere Öklid Teoremleri denir.
- Özellikle, dik kenarların uzunlukları için şu formüller geçerlidir:
- $|AB|^2 = |BD| \cdot |BC|$
- $|AC|^2 = |DC| \cdot |BC|$
- $|AB|$ ve $|AC|$ Kenarlarının Karelerini Hesaplayalım:
- Yukarıdaki Öklid formüllerini kullanarak değerleri yerine yazalım:
- $|AB|^2 = 2 \cdot 10 = 20$
- $|AC|^2 = 8 \cdot 10 = 80$
- İstenen Oranı Bulalım:
- Bizden $|AB|/|AC|$ oranı isteniyor. Önce karelerinin oranını bulmak işimizi kolaylaştıracaktır:
- $\frac{|AB|^2}{|AC|^2} = \frac{20}{80}$
- Bu kesri sadeleştirelim: $\frac{20}{80} = \frac{1}{4}$
- Şimdi her iki tarafın karekökünü alarak $|AB|/|AC|$ oranını bulalım:
- $\sqrt{\frac{|AB|^2}{|AC|^2}} = \sqrt{\frac{1}{4}}$
- $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$
- $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{1}{2}$
Böylece, $|AB|/|AC|$ oranının $1/2$ olduğunu bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
