35 kişilik bir sınıfta İngilizce bilenlerin kümesi \( I \), Fransızca bilenlerin kümesi \( F \)'dir. \( s(I \cup F) = 35 \), \( s(I \cap F) = 5 \) ve \( s(I) = 3 \cdot s(F) \) olduğuna göre, yalnızca İngilizce bilen kaç kişi vardır?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda küme kavramlarını ve küme problemlerini çözmek için kullanılan temel formülü uygulayacağız. Adım adım ilerleyerek soruyu dikkatlice çözelim.
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Sınıftaki İngilizce veya Fransızca bilenlerin toplam sayısı (birleşim kümesi): $s(I \cup F) = 35$. Bu bilgi, sınıftaki 35 öğrencinin tamamının en az bir dil bildiği anlamına gelir.
- Hem İngilizce hem de Fransızca bilenlerin sayısı (kesişim kümesi): $s(I \cap F) = 5$.
- İngilizce bilenlerin sayısı, Fransızca bilenlerin sayısının 3 katıdır: $s(I) = 3 \cdot s(F)$.
- Bizden istenen: Yalnızca İngilizce bilenlerin sayısı. Bu ifade, İngilizce bilenlerden hem İngilizce hem de Fransızca bilenlerin çıkarılmasıyla bulunur: $s(I \setminus F)$.
- 2. Küme Birleşim Formülünü Hatırlayalım:
- İki kümenin birleşiminin eleman sayısını veren temel formül şudur: $s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)$.
- Bu formülü bizim kümelerimiz ($I$ ve $F$) için uygulayalım: $s(I \cup F) = s(I) + s(F) - s(I \cap F)$.
- 3. Bilgileri Formülde Yerine Koyalım:
- Verilen değerleri formüle yerleştirelim: $35 = s(I) + s(F) - 5$.
- 4. Denklemi Düzenleyelim:
- Denklemdeki $-5$ sayısını eşitliğin sol tarafına atarak $s(I)$ ve $s(F)$ toplamını bulalım: $35 + 5 = s(I) + s(F)$.
- Bu durumda $40 = s(I) + s(F)$ denklemini elde ederiz.
- 5. $s(I)$ ve $s(F)$ Arasındaki İlişkiyi Kullanalım:
- Bize verilen $s(I) = 3 \cdot s(F)$ bilgisini, bulduğumuz $40 = s(I) + s(F)$ denkleminde yerine koyalım.
- $40 = (3 \cdot s(F)) + s(F)$.
- Benzer terimleri toplayalım: $40 = 4 \cdot s(F)$.
- 6. $s(F)$ Değerini Bulalım:
- Her iki tarafı 4'e bölerek Fransızca bilenlerin sayısını bulalım: $s(F) = \frac{40}{4}$.
- $s(F) = 10$. Yani, Fransızca bilen 10 kişi vardır.
- 7. $s(I)$ Değerini Bulalım:
- $s(I) = 3 \cdot s(F)$ ilişkisini kullanarak İngilizce bilenlerin sayısını bulalım: $s(I) = 3 \cdot 10$.
- $s(I) = 30$. Yani, İngilizce bilen 30 kişi vardır.
- 8. Yalnızca İngilizce Bilenleri Bulalım:
- Yalnızca İngilizce bilenler, İngilizce bilenlerin toplam sayısından hem İngilizce hem de Fransızca bilenlerin sayısının çıkarılmasıyla bulunur: $s(I \setminus F) = s(I) - s(I \cap F)$.
- Değerleri yerine koyalım: $s(I \setminus F) = 30 - 5$.
- $s(I \setminus F) = 25$.
Bu adımlarla yaptığımız hesaplamalara göre, yalnızca İngilizce bilen kişi sayısı 25'tir.
Cevap B seçeneğidir.
