Bir ankete katılan 80 kişinin %70'i film izlemeyi, %60'ı kitap okumayı seviyor. Ankete katılanların %20'si ise ne film izlemeyi ne de kitap okumayı seviyor. Buna göre, hem film izlemeyi hem de kitap okumayı sevenlerin sayısı kaçtır?
A) 30
B) 35
C) 40
D) 45
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür problemler, kümeler konusunu ve yüzde hesaplamalarını birleştiren güzel örneklerdir. Adım adım ilerleyerek soruyu kolayca çözeceğiz.
- Adım 1: Toplam Kişi Sayısını Belirleyelim
- Ankete katılan toplam kişi sayısı 80'dir. Bu, tüm hesaplamalarımızın temelini oluşturacak.
- Adım 2: Ne Film Ne de Kitap Sevenlerin Sayısını Bulalım
- Soruda, ankete katılanların %20'sinin ne film izlemeyi ne de kitap okumayı sevdiği belirtiliyor. Bu kişilerin sayısını bulmak için toplam kişi sayısının %20'sini hesaplarız:
- $80 \times \frac{20}{100} = 80 \times 0.20 = 16$ kişi.
- Demek ki 16 kişi, bu iki aktiviteden hiçbirini sevmiyor.
- Adım 3: En Az Bir Aktiviteyi Sevenlerin Sayısını Bulalım
- Eğer 16 kişi hiçbir aktiviteyi sevmiyorsa, geri kalan kişiler en az bir aktiviteyi (ya filmi, ya kitabı ya da her ikisini) seviyor demektir. Toplam kişi sayısından hiçbirini sevmeyenleri çıkararak bu sayıyı buluruz:
- $80 - 16 = 64$ kişi.
- Bu 64 kişi, film izlemeyi, kitap okumayı veya her ikisini birden seven kişilerin toplamıdır. Matematiksel olarak bu, "Film sevenler kümesi ile Kitap sevenler kümesinin birleşimi" anlamına gelir.
- Adım 4: Film İzlemeyi Sevenlerin Sayısını Bulalım
- Ankete katılanların %70'i film izlemeyi seviyor. Bu kişilerin sayısını hesaplayalım:
- $80 \times \frac{70}{100} = 80 \times 0.70 = 56$ kişi.
- Adım 5: Kitap Okumayı Sevenlerin Sayısını Bulalım
- Ankete katılanların %60'ı kitap okumayı seviyor. Bu kişilerin sayısını hesaplayalım:
- $80 \times \frac{60}{100} = 80 \times 0.60 = 48$ kişi.
- Adım 6: Hem Film Hem de Kitap Sevenlerin Sayısını Bulalım (Kümeler Prensibi)
- Şimdi elimizdeki bilgileri kullanarak hem film hem de kitap sevenlerin sayısını bulabiliriz. Kümelerdeki "İçerme-Dışlama Prensibi"ni hatırlayalım:
- (En az birini sevenler) = (Film sevenler) + (Kitap sevenler) - (Hem film hem kitap sevenler)
- Bu formülü kullanarak bilinen değerleri yerine yazalım:
- $64 = 56 + 48 - (\text{Hem film hem kitap sevenler})$
- $64 = 104 - (\text{Hem film hem kitap sevenler})$
- Şimdi "Hem film hem kitap sevenler" ifadesini yalnız bırakmak için denklemi çözelim:
- $(\text{Hem film hem kitap sevenler}) = 104 - 64$
- $(\text{Hem film hem kitap sevenler}) = 40$ kişi.
Buna göre, hem film izlemeyi hem de kitap okumayı sevenlerin sayısı 40'tır.
Cevap C seçeneğidir.
