Dünya'nın kütlesi M, yarıçapı R'dir. Dünya yüzeyinden R yüksekliğinde bulunan bir uyduya etki eden kütle çekim kuvveti, Dünya yüzeyindeki kütle çekim kuvvetinin kaç katıdır?
A) 1/2
B) 1/4
C) 1/8
D) 1/16
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, Dünya yüzeyindeki ve Dünya yüzeyinden belirli bir yükseklikteki bir uyduya etki eden kütle çekim kuvvetlerini karşılaştıracağız. Kütle çekim kuvveti, cisimler arasındaki mesafeye bağlı olarak nasıl değişir, bunu anlamak için harika bir fırsat.
- Kütle Çekim Kuvveti Formülü:
İki cisim arasındaki kütle çekim kuvveti, Newton'un Evrensel Kütle Çekim Yasası'na göre şu formülle hesaplanır:
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
Burada:
- $F$: Kütle çekim kuvveti
- $G$: Evrensel çekim sabiti (sabit bir değerdir)
- $m_1$: Birinci cismin kütlesi (bizim durumumuzda Dünya'nın kütlesi $M$)
- $m_2$: İkinci cismin kütlesi (bizim durumumuzda uydunun kütlesi $m$)
- $r$: İki cismin kütle merkezleri arasındaki uzaklık
- Dünya Yüzeyindeki Kütle Çekim Kuvveti ($F_{yüzey}$):
Dünya yüzeyindeki bir cisme etki eden kütle çekim kuvvetini hesaplarken, cismin Dünya'nın merkezinden uzaklığı Dünya'nın yarıçapı $R$ kadardır.
Bu durumda, $r = R$ olur.
Formülü uygulayalım:
$F_{yüzey} = G \frac{M m}{R^2}$
- Uyduya Etki Eden Kütle Çekim Kuvveti ($F_{uydu}$):
Uydu, Dünya yüzeyinden $R$ yüksekliğindedir. Bu, uydunun Dünya'nın merkezinden uzaklığının ne kadar olduğunu bulmamız gerektiği anlamına gelir.
Dünya'nın merkezinden uzaklık = Dünya'nın yarıçapı + Yüzeyden yükseklik
$r_{uydu} = R + R = 2R$
Şimdi bu uzaklığı formülde yerine koyalım:
$F_{uydu} = G \frac{M m}{(2R)^2}$
$F_{uydu} = G \frac{M m}{4R^2}$
- Kuvvetlerin Oranını Bulma:
Soru, uyduya etki eden kütle çekim kuvvetinin, Dünya yüzeyindeki kütle çekim kuvvetinin kaç katı olduğunu soruyor. Yani $\frac{F_{uydu}}{F_{yüzey}}$ oranını bulmalıyız.
$\frac{F_{uydu}}{F_{yüzey}} = \frac{G \frac{M m}{4R^2}}{G \frac{M m}{R^2}}$
Bu ifadede, $G$, $M$, $m$ ve $R^2$ terimleri hem pay hem de paydada ortak olduğu için sadeleşecektir.
$\frac{F_{uydu}}{F_{yüzey}} = \frac{\frac{1}{4}}{1}$
$\frac{F_{uydu}}{F_{yüzey}} = \frac{1}{4}$
Bu sonuç bize, Dünya yüzeyinden $R$ yüksekliğindeki bir uyduya etki eden kütle çekim kuvvetinin, Dünya yüzeyindeki kütle çekim kuvvetinin $\frac{1}{4}$'ü kadar olduğunu gösterir. Kütle çekim kuvvetinin uzaklığın karesiyle ters orantılı olduğunu unutmayın. Uzaklık 2 katına çıktığında, kuvvet $2^2 = 4$ kat azalır.
Cevap B seçeneğidir.
