Fonksiyonlarda öteleme ve simetri Test 1

f(x) = x² parabolü önce 3 birim sağa, sonra 2 birim aşağı öteleniyor. Oluşan yeni fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?

A) f(x) = (x-3)² - 2
B) f(x) = (x+3)² - 2
C) f(x) = (x-3)² + 2
D) f(x) = (x+3)² + 2

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, temel bir parabol olan $f(x) = x^2$ fonksiyonunun öteleme hareketlerini inceleyeceğiz. Fonksiyonların grafikleri üzerinde yapılan bu tür ötelemeler, fonksiyonun denklemini belirli kurallara göre değiştirir. Şimdi adım adım bu ötelemeleri uygulayalım ve yeni fonksiyonumuzu bulalım.

• Başlangıç Fonksiyonu:

  Elimizdeki başlangıç fonksiyonu $f(x) = x^2$'dir. Bu, tepe noktası $(0,0)$ noktasında olan standart bir paraboldür.

• Birinci Öteleme: 3 Birim Sağa Öteleme

  Bir fonksiyonu yatayda (sağa veya sola) ötelemek için $x$ yerine $(x-k)$ veya $(x+k)$ yazarız. Kural şudur:

  • Eğer $k$ birim sağa öteliyorsak, $x$ yerine $(x-k)$ yazarız.
  • Eğer $k$ birim sola öteliyorsak, $x$ yerine $(x+k)$ yazarız.

  Soruda fonksiyonu 3 birim sağa ötelememiz isteniyor. Bu durumda, $f(x) = x^2$ fonksiyonunda $x$ yerine $(x-3)$ yazmalıyız. Yeni fonksiyonumuz geçici olarak $g(x)$ olsun:

  $g(x) = (x-3)^2$

  Bu öteleme ile parabolün tepe noktası $(0,0)$ noktasından $(3,0)$ noktasına kaymıştır.

• İkinci Öteleme: 2 Birim Aşağı Öteleme

  Bir fonksiyonu dikeyde (yukarı veya aşağı) ötelemek için fonksiyonun tamamına bir değer ekler veya çıkarırız. Kural şudur:

  • Eğer $k$ birim yukarı öteliyorsak, fonksiyona $+k$ ekleriz.
  • Eğer $k$ birim aşağı öteliyorsak, fonksiyondan $-k$ çıkarırız.

  Şu anki fonksiyonumuz $g(x) = (x-3)^2$'dir. Bunu 2 birim aşağı ötelememiz isteniyor. Bu durumda, $g(x)$ fonksiyonundan $2$ çıkarmalıyız. Oluşan yeni fonksiyonumuz $h(x)$ olsun:

  $h(x) = (x-3)^2 - 2$

  Bu öteleme ile parabolün tepe noktası $(3,0)$ noktasından $(3,-2)$ noktasına kaymıştır.

• Sonuç:

  Tüm öteleme adımlarını tamamladığımızda, başlangıçtaki $f(x) = x^2$ parabolünün 3 birim sağa ve 2 birim aşağı ötelenmesiyle oluşan yeni fonksiyon $f(x) = (x-3)^2 - 2$ olmuştur.

Şimdi seçeneklerimize bakalım:

• A) $f(x) = (x-3)^2 - 2$
• B) $f(x) = (x+3)^2 - 2$
• C) $f(x) = (x-3)^2 + 2$
• D) $f(x) = (x+3)^2 + 2$

Bulduğumuz sonuç A seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.