Yay sabiti k olan bir yayın ucuna m kütleli bir cisim bağlanmıştır. Sistem sürtünmesiz yatay düzlemde basit harmonik hareket yapmaktadır. Hareketin açısal frekansı ω'dir. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) ω = √(k/m)Merhaba sevgili öğrenciler! Basit harmonik hareket, doğada ve mühendislikte sıkça karşılaştığımız önemli bir konudur. Şimdi, yay-kütle sistemi için verilen ifadeleri adım adım inceleyelim ve hangisinin yanlış olduğunu bulalım.
Yay sabiti $k$ olan bir yaya bağlı $m$ kütleli bir cisim, sürtünmesiz yatay düzlemde basit harmonik hareket yaparken, cisme etki eden geri çağırıcı kuvvet Hooke Yasası'na göre $F = -kx$ şeklindedir. Burada $x$ denge konumundan olan uzanımı (konumu) ifade eder. Newton'un ikinci yasasına göre ise $F = ma$'dır. Bu iki denklemi birleştirdiğimizde:
$ma = -kx$
$a = -\frac{k}{m}x$
Basit harmonik hareketin genel ivme denklemi ise $a = -\omega^2 x$ şeklindedir. Bu iki denklemi karşılaştırarak açısal frekans $\omega$ için bir ifade bulabiliriz.
Yukarıda bulduğumuz ivme denklemlerini ($a = -\frac{k}{m}x$ ve $a = -\omega^2 x$) karşılaştırdığımızda:
$\omega^2 = \frac{k}{m}$
Buradan açısal frekans $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ olarak bulunur. Bu ifade, yay-kütle sistemi için basit harmonik hareketin açısal frekansının doğru formülüdür.
Bu ifade doğrudur.
Açısal frekans $\omega$ ile periyot $T$ arasındaki ilişki $\omega = \frac{2\pi}{T}$ şeklindedir. Bu durumda periyot $T = \frac{2\pi}{\omega}$ olarak yazılabilir. A seçeneğinde bulduğumuz $\omega$ değerini yerine koyarsak:
$T = \frac{2\pi}{\sqrt{k/m}}$
$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
Bu formülden de açıkça görüldüğü gibi, periyot $T$ cismin kütlesi $m$'ye bağlıdır. Kütle arttıkça periyot da artar.
Bu ifade doğrudur.
Basit harmonik hareketin en önemli özelliklerinden biri, ideal koşullar altında (sürtünmesiz ortam, ideal yay) hareketin periyodunun ve frekansının hareketin genliğine (maksimum uzanımına) bağlı olmamasıdır. Yani, yayı ister az çekip bırakın ister çok çekip bırakın, bir tam salınım yapması için geçen süre (periyot) aynı kalır. Periyot formülünde ($T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$) genlik $A$ terimi bulunmaz.
Bu ifade yanlıştır.
Basit harmonik hareketin tanımında da yer alan ve yukarıda türettiğimiz ivme denklemi $a = -\frac{k}{m}x$ şeklindedir. Bu denklemde $\frac{k}{m}$ sabit bir değer olduğu için, ivme $a$ doğrudan konum $x$ ile orantılıdır. Negatif işaret ise ivmenin her zaman denge konumuna doğru olduğunu gösterir.
Bu ifade doğrudur.
Yukarıdaki analizler sonucunda, periyodun genliğe bağlı olduğunu belirten C seçeneğindeki ifadenin yanlış olduğu görülmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
