Düzlem nedir Test 1

Analitik düzlemde 3x - 4y + 12 = 0 doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 6
B) 12
C) 18
D) 24

Merhaba sevgili öğrenciler!

Analitik düzlemde bir doğru ile koordinat eksenleri arasında kalan bölgenin alanını bulma sorusu, genellikle bir dik üçgenin alanını hesaplamaya dayanır. Şimdi bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim:

• Adım 1: Doğrunun Koordinat Eksenlerini Kestiği Noktaları Bulma

  Bir doğru ile koordinat eksenleri arasında kalan bölgenin alanını bulmak için öncelikle doğrunun x-eksenini ve y-eksenini kestiği noktaları belirlememiz gerekir. Bu noktalar, üçgenimizin köşelerini oluşturacaktır.

  • x-eksenini kestiği nokta: Bir doğru x-eksenini kestiğinde, o noktanın y-koordinatı $0$ (sıfır) olur. Doğru denklemi $3x - 4y + 12 = 0$ olduğuna göre, $y=0$ yazalım:

    $3x - 4(0) + 12 = 0$

    $3x + 12 = 0$

    $3x = -12$

    $x = -4$

    Yani doğru, x-eksenini $(-4, 0)$ noktasında keser.

  • y-eksenini kestiği nokta: Bir doğru y-eksenini kestiğinde, o noktanın x-koordinatı $0$ (sıfır) olur. Doğru denklemi $3x - 4y + 12 = 0$ olduğuna göre, $x=0$ yazalım:

    $3(0) - 4y + 12 = 0$

    $-4y + 12 = 0$

    $-4y = -12$

    $y = 3$

    Yani doğru, y-eksenini $(0, 3)$ noktasında keser.

• Adım 2: Oluşan Bölgenin Geometrik Şeklini Belirleme

  Doğru, x-eksenini $(-4, 0)$ noktasında ve y-eksenini $(0, 3)$ noktasında kesiyor. Koordinat eksenleri ise $(0, 0)$ noktasında kesişir. Bu üç nokta (orijin $(0,0)$, x-ekseni kesim noktası $(-4,0)$ ve y-ekseni kesim noktası $(0,3)$) birleştiğinde bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin dik köşesi orijin $(0,0)$ noktasıdır.

• Adım 3: Dik Üçgenin Kenar Uzunluklarını Bulma

  Oluşan dik üçgenin dik kenarları (taban ve yükseklik), koordinat eksenleri üzerindeki parçaların uzunluklarıdır. Uzunluklar her zaman pozitif olmalıdır.

  • Taban uzunluğu (x-ekseni üzerindeki parça): Orijinden $(-4, 0)$ noktasına kadar olan uzaklık $|-4| = 4$ birimdir.
  • Yükseklik uzunluğu (y-ekseni üzerindeki parça): Orijinden $(0, 3)$ noktasına kadar olan uzaklık $|3| = 3$ birimdir.
• Adım 4: Üçgenin Alanını Hesaplama

  Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır. Alan formülü: $Alan = \frac{1}{2} \times taban \times yükseklik$.

  $Alan = \frac{1}{2} \times 4 \times 3$

  $Alan = \frac{12}{2}$

  $Alan = 6$ birimkare

Bu adımları takip ederek doğru ile koordinat eksenleri arasında kalan bölgenin alanını $6$ birimkare olarak bulduk.

Cevap A seçeneğidir.