10. "Bir sayı 2'ye veya 3'e bölünüyorsa asal değildir" önermesi veriliyor. Buna göre aşağıdaki sayılardan hangisi bu önermenin yanlış olduğunu gösterir?
A) 4 (2'ye bölünür, asal değil)
B) 6 (2'ye ve 3'e bölünür, asal değil)
C) 9 (3'e bölünür, asal değil)
D) 2 (2'ye bölünür, asal)
Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen önermenin ne anlama geldiğini ve ne zaman yanlış olacağını anlamamız gerekiyor.
Adım 1: Önermeyi Anlamak
- Verilen önerme "Bir sayı 2'ye veya 3'e bölünüyorsa asal değildir" şeklindedir.
- Bu, mantıkta bir koşullu önermedir ve "$P \implies Q$" şeklinde ifade edilir.
- Burada $P$ önermesi: "Bir sayı 2'ye veya 3'e bölünür."
- $Q$ önermesi: "Sayı asal değildir."
Adım 2: Önermenin Ne Zaman Yanlış Olduğunu Belirlemek
- Bir koşullu önerme ($P \implies Q$) sadece ve sadece $P$ doğru iken $Q$ yanlış olduğunda yanlış olur. Diğer tüm durumlarda doğrudur.
- Yani, biz öyle bir sayı arıyoruz ki:
- 1. Bu sayı 2'ye veya 3'e bölünebilsin (yani $P$ önermesi doğru olsun).
- 2. Aynı zamanda bu sayı asal bir sayı olsun (yani "asal değildir" ifadesi yanlış olsun, dolayısıyla $Q$ önermesi yanlış olsun).
Adım 3: Seçenekleri İncelemek
- A) 4:
- 4 sayısı 2'ye bölünür. Yani $P$ önermesi doğru.
- 4 sayısı asal değildir (çarpanları 1, 2, 4'tür). Yani "asal değildir" ifadesi doğru, dolayısıyla $Q$ önermesi doğru.
- Bu durumda önerme $Doğru \implies Doğru$ olur ki bu da doğrudur. Bu seçenek önermeyi yanlış kılmaz.
- B) 6:
- 6 sayısı hem 2'ye hem de 3'e bölünür. Yani $P$ önermesi doğru.
- 6 sayısı asal değildir (çarpanları 1, 2, 3, 6'dır). Yani "asal değildir" ifadesi doğru, dolayısıyla $Q$ önermesi doğru.
- Bu durumda önerme $Doğru \implies Doğru$ olur ki bu da doğrudur. Bu seçenek önermeyi yanlış kılmaz.
- C) 9:
- 9 sayısı 3'e bölünür. Yani $P$ önermesi doğru.
- 9 sayısı asal değildir (çarpanları 1, 3, 9'dur). Yani "asal değildir" ifadesi doğru, dolayısıyla $Q$ önermesi doğru.
- Bu durumda önerme $Doğru \implies Doğru$ olur ki bu da doğrudur. Bu seçenek önermeyi yanlış kılmaz.
- D) 2:
- 2 sayısı 2'ye bölünür. Yani $P$ önermesi doğru.
- 2 sayısı bir asal sayıdır (çarpanları sadece 1 ve 2'dir). Yani "asal değildir" ifadesi yanlıştır, dolayısıyla $Q$ önermesi yanlış.
- Bu durumda önerme $Doğru \implies Yanlış$ olur ki bu da önermenin yanlış olduğunu gösterir. İşte aradığımız sayı budur!
Cevap D seçeneğidir.
