Kütlesi $m$, uzunluğu $L$ olan ince bir çubuğun, ucundan geçen dik eksene göre eylemsizlik momenti kaç $mL^2$'dir?
A) $\frac{1}{12}$Bu soruyu çözmek için, bir çubuğun kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momentini ve paralel eksen teoremini kullanacağız.
Düzgün, ince bir çubuğun kütle merkezi tam ortasındadır. Çubuğun kütlesi $m$ ve uzunluğu $L$ olduğunda, kütle merkezinden geçen ve çubuğa dik olan bir eksene göre eylemsizlik momenti $I_{CM}$ şu formülle verilir:
$I_{CM} = \frac{1}{12}mL^2$
Soru bizden çubuğun ucundan geçen dik eksene göre eylemsizlik momentini bulmamızı istiyor. Kütle merkezinden geçen eksen ile çubuğun ucundan geçen eksen birbirine paraleldir. Bu durumda paralel eksen teoremini kullanabiliriz. Paralel eksen teoremi şöyledir:
$I = I_{CM} + Md^2$
Burada:
Çubuğun kütle merkezi tam ortasında olduğu için, kütle merkezinden çubuğun bir ucuna olan uzaklık $d = \frac{L}{2}$'dir.
Şimdi bulduğumuz $I_{CM}$, $M$ ve $d$ değerlerini paralel eksen teoreminde yerine yazalım:
$I = \frac{1}{12}mL^2 + m \left(\frac{L}{2}\right)^2$
Denklemi basitleştirelim:
$I = \frac{1}{12}mL^2 + m \left(\frac{L^2}{4}\right)$
$I = \frac{1}{12}mL^2 + \frac{1}{4}mL^2$
Ortak paydayı (12) kullanarak toplama işlemini yapalım:
$I = \frac{1}{12}mL^2 + \frac{3}{12}mL^2$
$I = \left(\frac{1+3}{12}\right)mL^2$
$I = \frac{4}{12}mL^2$
Kesri sadeleştirelim:
$I = \frac{1}{3}mL^2$
Buna göre, kütlesi $m$, uzunluğu $L$ olan ince bir çubuğun, ucundan geçen dik eksene göre eylemsizlik momenti $\frac{1}{3}mL^2$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
