Polinomda katsayılar nasıl olmalı Test 1

P(x) = (a+1)x³ + (b-2)x² + (c+3)x + 5 polinomunun derecesi 2 olduğuna göre a, b ve c gerçel sayıları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) a=-1, b≠2, c∈ℝ
B) a=-1, b=2, c∈ℝ
C) a=-1, b≠2, c=-3
D) a=-1, b=2, c=-3

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir polinomun derecesi kavramını kullanarak bilinmeyen katsayılar arasındaki ilişkiyi bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Polinomun Derecesi Nedir?

  Bir polinomun derecesi, o polinomdaki değişkenin (burada $x$) en yüksek kuvvetinin (üssünün) katsayısı sıfırdan farklı olmak koşuluyla, o en yüksek kuvvettir. Örneğin, $3x^4 - 2x^2 + 7$ polinomunun derecesi $4$'tür çünkü $x$'in en yüksek kuvveti $4$'tür ve $x^4$'ün katsayısı olan $3$ sıfırdan farklıdır.

• Verilen Polinomu İnceleyelim:

  Polinomumuz $P(x) = (a+1)x^3 + (b-2)x^2 + (c+3)x + 5$ şeklindedir.

  Bu polinomda $x$'in kuvvetleri sırasıyla $3$, $2$, $1$ ve $0$ (sabit terim $5 = 5x^0$) bulunmaktadır.

• Polinomun Derecesi Bilgisini Kullanalım:

  Soruda $P(x)$ polinomunun derecesinin $2$ olduğu belirtilmiştir. Bu, bize çok önemli bilgiler verir:

  • Polinomun derecesi $2$ olduğuna göre, $x^3$ terimi polinomda bulunmamalıdır. Yani $x^3$'ün katsayısı sıfır olmalıdır.
  • Polinomun derecesi $2$ olduğuna göre, $x^2$ terimi polinomda bulunmalıdır. Yani $x^2$'nin katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır.
  • $x^1$ ve $x^0$ (sabit terim) terimlerinin katsayıları, polinomun derecesini etkilemezler, çünkü zaten $x^2$ teriminden daha düşük derecelidirler.
• Katsayılar İçin Denklemleri Kuralım:

  Yukarıdaki çıkarımlara göre, katsayılar için şu koşulları yazabiliriz:

  • $x^3$ teriminin katsayısı sıfır olmalı: $a+1 = 0$
  • $x^2$ teriminin katsayısı sıfırdan farklı olmalı: $b-2 \neq 0$
  • $x^1$ teriminin katsayısı için herhangi bir kısıtlama yoktur, sıfır da olabilir, sıfırdan farklı da olabilir: $c+3 \in \mathbb{R}$
• $a$, $b$ ve $c$ Değerlerini Bulalım:
  • $a+1 = 0 \implies a = -1$
  • $b-2 \neq 0 \implies b \neq 2$
  • $c+3 \in \mathbb{R}$ olduğundan, $c$ herhangi bir gerçel sayı olabilir. Yani $c \in \mathbb{R}$.
• Sonuçları Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz koşullar şunlardır: $a=-1$, $b \neq 2$, $c \in \mathbb{R}$.

  Şimdi seçeneklere bakalım:

  • A) $a=-1, b \neq 2, c \in \mathbb{R}$
  • B) $a=-1, b=2, c \in \mathbb{R}$
  • C) $a=-1, b \neq 2, c=-3$
  • D) $a=-1, b=2, c=-3$

  Gördüğümüz gibi, bulduğumuz koşullar A seçeneği ile tamamen uyuşmaktadır.

Cevap A seçeneğidir.