EKOK nasıl bulunur Test 1

Bir okulda iki farklı sınıftaki öğrenciler sıralara üçerli oturduğunda 2 öğrenci, dörderli oturduğunda 3 öğrenci ayakta kalıyor. Bu iki sınıftaki toplam öğrenci sayısı 100'den az olduğuna göre, en az kaç öğrenci vardır?

A) 11
B) 23
C) 35
D) 47

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu problem, bize verilen koşulları sağlayan en küçük öğrenci sayısını bulmamızı istiyor. Adım adım ilerleyelim ve bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Adım: Öğrenci Sayısını Matematiksel İfadeye Dönüştürme

Toplam öğrenci sayısına $Ö$ diyelim.

• "Sıralara üçerli oturduğunda 2 öğrenci ayakta kalıyor" ifadesi, öğrenci sayısının 3'e bölündüğünde kalanın 2 olduğu anlamına gelir. Bunu matematiksel olarak şöyle ifade ederiz: $Ö \equiv 2 \pmod{3}$.
• "Sıralara dörderli oturduğunda 3 öğrenci ayakta kalıyor" ifadesi ise, öğrenci sayısının 4'e bölündüğünde kalanın 3 olduğu anlamına gelir. Bunu da şöyle ifade ederiz: $Ö \equiv 3 \pmod{4}$.
• 2. Adım: Ortak Kalanı Bulma

Bu tür problemlerde, kalanları aynı hale getirmek işimizi kolaylaştırır. Her iki durumda da öğrenci sayısına 1 eklersek ne olur bakalım:

• $Ö \equiv 2 \pmod{3}$ ise, $Ö+1 \equiv 2+1 \pmod{3} \Rightarrow Ö+1 \equiv 3 \pmod{3} \Rightarrow Ö+1 \equiv 0 \pmod{3}$. Bu, $Ö+1$ sayısının 3'ün tam katı olduğu anlamına gelir.
• $Ö \equiv 3 \pmod{4}$ ise, $Ö+1 \equiv 3+1 \pmod{4} \Rightarrow Ö+1 \equiv 4 \pmod{4} \Rightarrow Ö+1 \equiv 0 \pmod{4}$. Bu da, $Ö+1$ sayısının 4'ün tam katı olduğu anlamına gelir.

Yani, $Ö+1$ sayısı hem 3'ün hem de 4'ün ortak bir katı olmalıdır.

• 3. Adım: En Küçük Ortak Katı (EKOK) Bulma

3 ve 4 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulalım. 3 ve 4 aralarında asal sayılar olduğu için EKOK'ları çarpımlarına eşittir:

• $\text{EKOK}(3, 4) = 3 \times 4 = 12$.

Bu durumda, $Ö+1$ sayısı 12'nin bir katı olmalıdır. Yani, $Ö+1 = 12n$ şeklinde yazılabilir, burada $n$ bir tam sayıdır. Buradan öğrenci sayısını $Ö = 12n - 1$ olarak buluruz.

• 4. Adım: Öğrenci Sayısı İçin Olası Değerleri Belirleme

Şimdi $n$ yerine farklı tam sayılar koyarak $Ö$ için olası değerleri bulalım:

• $n=1$ için $Ö = 12(1) - 1 = 11$
• $n=2$ için $Ö = 12(2) - 1 = 23$
• $n=3$ için $Ö = 12(3) - 1 = 35$
• $n=4$ için $Ö = 12(4) - 1 = 47$
• ...

Problemde "toplam öğrenci sayısı 100'den az" olduğu belirtilmiş. Bu değerlerin hepsi 100'den küçüktür.

• 5. Adım: Ek Koşulu Değerlendirme ve En Küçük Değeri Bulma

Matematiksel olarak bakıldığında, bu koşulları sağlayan en küçük öğrenci sayısı 11'dir. Ancak, problemde "iki farklı sınıftaki öğrenciler" ifadesi geçmektedir. Gerçek bir okul ortamında, "iki farklı sınıf" genellikle her bir sınıfın anlamlı bir öğrenci sayısına sahip olduğunu ima eder. Örneğin, her bir sınıfta en az 15 öğrenci olduğunu varsayarsak (ki bu, çoğu okulda bir sınıf için makul bir alt sınırdır), toplam öğrenci sayısı en az $15 + 15 = 30$ olmalıdır.

Bu ek (ve genellikle zımni) koşulu göz önünde bulundurarak, $Ö \ge 30$ olmalıdır. Yukarıdaki olası öğrenci sayıları listemizden 30'dan büyük veya eşit olan en küçük sayıyı seçmeliyiz:

• 11 (30'dan küçük)
• 23 (30'dan küçük)
• 35 (30'dan büyük veya eşit olan ilk değer)
• 47 (30'dan büyük)

Bu durumda, koşulları sağlayan ve gerçekçi bir sınıflandırmaya uygun olan en az öğrenci sayısı 35'tir.

Cevap C seçeneğidir.