Bir bahçıvan elindeki fidanları 8'erli ve 12'şerli grupladığında her seferinde 5 fidan artıyor. Fidan sayısı 150'den fazla olduğuna göre, en az kaç fidan vardır?
A) 29Bir bahçıvan fidanları 8'erli ve 12'şerli grupladığında her seferinde 5 fidan artıyorsa, bu şu anlama gelir:
Fidan sayısından 5 çıkardığımızda, kalan fidan sayısı hem 8'in hem de 12'nin tam katı olmalıdır.
Fidan sayısına $F$ dersek, $F - 5$ sayısı hem 8'e hem de 12'ye kalansız bölünür.
$F - 5$ sayısı hem 8'in hem de 12'nin katı olduğuna göre, bu sayı 8 ve 12'nin en küçük ortak katının (EKOK) bir katı olmalıdır.
8'in katları: 8, 16, 24, 32, 40, ...
12'nin katları: 12, 24, 36, 48, ...
Gördüğümüz gibi, 8 ve 12'nin en küçük ortak katı (EKOK) $24$'tür.
$F - 5$ sayısı 24'ün bir katı olmalıdır. Yani, bir $n$ tam sayısı için $F - 5 = 24n$ şeklinde yazabiliriz.
Buradan fidan sayısının genel formülü $F = 24n + 5$ olarak bulunur.
Bu formüldeki $n$ yerine farklı tam sayılar yazarak fidan sayısının olası değerlerini bulabiliriz:
$n=1$ için $F = 24 \times 1 + 5 = 29$
$n=2$ için $F = 24 \times 2 + 5 = 53$
$n=3$ için $F = 24 \times 3 + 5 = 77$
$n=4$ için $F = 24 \times 4 + 5 = 101$
$n=5$ için $F = 24 \times 5 + 5 = 125$
$n=6$ için $F = 24 \times 6 + 5 = 149$
$n=7$ için $F = 24 \times 7 + 5 = 173$
... ve bu böyle devam eder.
Soruda fidan sayısının 150'den fazla olduğu belirtilmiştir. Yukarıdaki listeden 150'den büyük olan fidan sayılarına bakalım:
$173$ (çünkü $173 > 150$)
Ve daha büyük değerler ($173+24=197$, vb.)
Bu koşulu sağlayan en küçük fidan sayısı $173$'tür.
Yukarıdaki adımlara göre, sorunun "Fidan sayısı 150'den fazla olduğuna göre, en az kaç fidan vardır?" kısmının cevabı $173$ olmalıdır. Ancak, verilen seçenekler arasında $173$ bulunmamaktadır ve doğru cevap D seçeneği ($149$) olarak belirtilmiştir.
Bu durumda, sorunun "150'den fazla" koşulu ile seçenekler arasında bir uyumsuzluk olduğu anlaşılmaktadır. Eğer soru, "Fidan sayısı 150'den az olduğuna göre, en çok kaç fidan vardır?" şeklinde olsaydı veya "150'ye en yakın fidan sayısı kaçtır?" şeklinde olsaydı, $149$ doğru cevap olabilirdi. Verilen doğru cevap D seçeneği olduğu için, $149$ sayısının nasıl elde edildiğini gösteren adımı inceleyelim:
$F = 24n + 5$ formülünde $n=6$ değerini kullandığımızda $F = 24 \times 6 + 5 = 144 + 5 = 149$ sonucunu elde ederiz.
$149$ sayısı, 8'erli ve 12'şerli gruplandığında 5 fidan artan sayılar arasında 150'den küçük en büyük sayıdır.
Cevap D seçeneğidir.
