"∀x∈ℝ, x² ≥ 0" önermesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Yanlıştır çünkü bazı reel sayıların karesi negatiftir
B) Yanlıştır çünkhiçbir reel sayının karesi sıfır olamaz
C) Doğrudur çünkü tüm reel sayıların karesi negatiftir
D) Doğrudur çünkü reel sayıların kareleri daima negatif olmayandır
Bu soruyu adım adım inceleyelim:
Öncelikle verilen önermeyi anlayalım: "$ \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ge 0 $"
Buradaki "$ \forall $" sembolü "her" veya "tüm" anlamına gelir.
"$ x \in \mathbb{R} $" ifadesi "$ x $'in bir reel sayı olduğu" anlamına gelir. Reel sayılar, pozitif sayılar, negatif sayılar ve sıfırı içeren tüm sayılardır (örneğin $ -2, 0, 3.5, \sqrt{2} $ gibi).
"$ x^2 \ge 0 $" ifadesi "$ x $'in karesinin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğu" anlamına gelir.
Dolayısıyla, önermenin tamamı "Her reel sayının karesi sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir." demektir.
Şimdi bu önermenin doğruluğunu kontrol edelim:
Pozitif bir reel sayının karesi pozitiftir: Örneğin, $ 3^2 = 9 $, ve $ 9 \ge 0 $.
Negatif bir reel sayının karesi pozitiftir: Örneğin, $ (-2)^2 = 4 $, ve $ 4 \ge 0 $.
Sıfırın karesi sıfırdır: Örneğin, $ 0^2 = 0 $, ve $ 0 \ge 0 $.
Görüldüğü gibi, tüm reel sayıların kareleri gerçekten de sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir. Bu nedenle, verilen "$ \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \ge 0 $" önermesi doğrudur.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
A) Yanlıştır çünkü bazı reel sayıların karesi negatiftir: Önerme doğrudur, dolayısıyla "Yanlıştır" kısmı hatalıdır. Ayrıca, hiçbir reel sayının karesi negatif olamaz. Bu seçenek yanlıştır.
B) Yanlıştır çünkü hiçbir reel sayının karesi sıfır olamaz: Önerme doğrudur, dolayısıyla "Yanlıştır" kısmı hatalıdır. Ayrıca, $ 0^2 = 0 $ olduğu için sıfırın karesi sıfır olabilir. Bu seçenek yanlıştır.
C) Doğrudur çünkü tüm reel sayıların karesi negatiftir: Önerme doğrudur, dolayısıyla "Doğrudur" kısmı doğru gibi görünse de, verilen gerekçe tamamen yanlıştır. Reel sayıların kareleri asla negatif değildir, aksine daima pozitif veya sıfırdır. Bu seçenek yanlıştır.
D) Doğrudur çünkü reel sayıların kareleri daima negatif olmayandır: Önerme doğrudur, dolayısıyla "Doğrudur" kısmı doğrudur. "Negatif olmayan" ifadesi, "sıfırdan büyük veya sıfıra eşit" anlamına gelir. Yani, "$ x^2 \ge 0 $" ifadesi ile aynı anlama gelir. Bu gerekçe doğru ve önermenin doğruluğunu açıklar. Bu seçenek doğrudur.
