İki eğri arasında kalan alan nasıl bulunur Test 1

f(x) = √x ve g(x) = x² eğrileri arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 1/3
B) 1/2
C) 2/3
D) 3/4

Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün, iki eğri arasında kalan bölgenin alanını integral kullanarak nasıl hesaplayacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu tür problemler, matematiğin günlük hayatta ve mühendislikte birçok alanda karşımıza çıkan önemli uygulamalarından biridir. Hazırsanız başlayalım!

• Adım 1: Eğrilerin Kesişim Noktalarını Bulma
• İki eğri arasında kalan alanı bulmak için öncelikle bu eğrilerin hangi noktalarda kesiştiğini belirlememiz gerekir. Kesişim noktaları, integralimizin sınırlarını oluşturacaktır. Bunun için eğrilerin denklemlerini birbirine eşitleriz:

  $f(x) = g(x)$

  $\sqrt{x} = x^2$

  Bu denklemi çözmek için her iki tarafın karesini alalım:

  $(\sqrt{x})^2 = (x^2)^2$

  $x = x^4$

  Şimdi denklemi sıfıra eşitleyelim ve $x$ değerlerini bulalım:

  $x^4 - x = 0$

  $x(x^3 - 1) = 0$

  Bu denklemin çözümleri şunlardır:

  $x = 0$ veya $x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$

  Yani, eğrilerimiz $x=0$ ve $x=1$ noktalarında kesişmektedir. Bu değerler, integralimizin alt ve üst sınırları olacaktır.

• Adım 2: Hangi Eğrinin Diğerinin Üstünde Olduğunu Belirleme
• İki eğri arasındaki alanı hesaplarken, belirli bir aralıkta hangi eğrinin diğerinin üstünde olduğunu bilmemiz gerekir. Bu, integralin içindeki çıkarma işleminin doğru sırasını belirler. Kesişim noktalarımız olan $x=0$ ve $x=1$ arasındaki bir değeri (örneğin $x=0.5$) alarak eğrileri test edelim:

  $f(0.5) = \sqrt{0.5} \approx 0.707$

  $g(0.5) = (0.5)^2 = 0.25$

  Gördüğümüz gibi, $f(0.5) > g(0.5)$ olduğundan, $x=0$ ile $x=1$ aralığında $f(x) = \sqrt{x}$ eğrisi, $g(x) = x^2$ eğrisinin üstündedir.

• Adım 3: Alan Formülünü Kurma
• İki eğri $f(x)$ ve $g(x)$ arasında, $a$ ve $b$ sınırları içinde kalan alan, eğer $f(x) \ge g(x)$ ise şu formülle bulunur:

  $A = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$

  Bizim durumumuzda $a=0$, $b=1$, $f(x) = \sqrt{x}$ ve $g(x) = x^2$ olduğundan, alan integralimiz şöyle olacaktır:

  $A = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx$

• Adım 4: İntegrali Hesaplama
• Şimdi bu belirli integrali hesaplayalım. $\sqrt{x}$ ifadesini $x^{1/2}$ olarak yazabiliriz:

  $A = \int_0^1 (x^{1/2} - x^2) dx$

  Her terimin integralini ayrı ayrı alalım:

  $\int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$

  $\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$

  Şimdi bu ifadeleri belirli integralin sınırları arasında değerlendirelim:

  $A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$

  Önce üst sınırı ($x=1$) yerine koyup, sonra alt sınırı ($x=0$) yerine koyup çıkaralım:

  $A = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{(1)^3}{3} \right) - \left( \frac{2}{3}(0)^{3/2} - \frac{(0)^3}{3} \right)$

  $A = \left( \frac{2}{3}(1) - \frac{1}{3} \right) - (0 - 0)$

  $A = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}$

  $A = \frac{1}{3}$

Böylece, $f(x) = \sqrt{x}$ ve $g(x) = x^2$ eğrileri arasında kalan bölgenin alanını $1/3$ birimkare olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.