Parabol AYT soruları Test 1

Bir top, yerden 20 metre yükseklikten yatay olarak 30 m/s hızla atılıyor. Topun yüksekliğinin zamana bağlı değişimi h(t) = -5t² + 30t + 20 denklemi ile modelleniyor. Buna göre top atıldıktan kaç saniye sonra yere çarpar?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7

• 1. Problemi Anlayalım:

  Topun yere çarpması demek, yüksekliğinin sıfır olması demektir. Yani, top yere çarptığı anda yüksekliği $h(t) = 0$ olmalıdır.

  Soruda verilen yükseklik denklemi: $h(t) = -5t^2 + 30t + 20$

• 2. Denklemi Kuralım:

  Topun yere çarptığı anı bulmak için $h(t)$ denklemini $0$'a eşitleyelim:

  $-5t^2 + 30t + 20 = 0$

• 3. Denklemi Sadeleştirelim:

  Bu ikinci dereceden denklemi daha kolay çözmek için denklemin her terimini $-5$'e bölebiliriz. Bu, denklemin köklerini değiştirmez:

  $\frac{-5t^2}{-5} + \frac{30t}{-5} + \frac{20}{-5} = \frac{0}{-5}$

  $t^2 - 6t - 4 = 0$

• 4. Denklemi Çözelim:

  Şimdi elde ettiğimiz $t^2 - 6t - 4 = 0$ ikinci dereceden denklemi çözmek için diskriminant (delta) yöntemini kullanalım. Genel ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde olduğunda, kökler $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ formülü ile bulunur.

  Bizim denklemimizde $a=1$, $b=-6$ ve $c=-4$.

  Önce diskriminantı ($\Delta$) hesaplayalım: $\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-4) = 36 + 16 = 52$

  Şimdi $t$ değerlerini bulmak için formülü uygulayalım:

  $t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{52}}{2(1)}$

  $t = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 13}}{2}$

  $t = \frac{6 \pm 2\sqrt{13}}{2}$

  Denklemin her terimini $2$'ye bölelim:

  $t = 3 \pm \sqrt{13}$

• 5. Fiziksel Olarak Anlamlı Sonucu Seçelim:

  Denklemden iki olası $t$ değeri elde ettik:

  $t_1 = 3 + \sqrt{13}$

  $t_2 = 3 - \sqrt{13}$

  Zaman negatif olamayacağı için $t_2 = 3 - \sqrt{13}$ değeri fiziksel olarak anlamsızdır (çünkü $\sqrt{13}$ yaklaşık olarak $3.6$ olduğundan $3 - 3.6$ negatif bir değerdir). Bu yüzden pozitif olan $t_1$ değerini almalıyız.

  $t = 3 + \sqrt{13}$

• 6. Sonucu Yaklaşık Değer Olarak Bulalım:

  Şimdi $\sqrt{13}$ değerini yaklaşık olarak hesaplayalım. $\sqrt{9} = 3$ ve $\sqrt{16} = 4$ olduğundan $\sqrt{13}$ değeri $3$ ile $4$ arasındadır.

  Daha hassas bir yaklaşımla: $\sqrt{13} \approx 3.605$

  Bu yaklaşık değeri $t$ denklemine yerine koyarsak:

  $t \approx 3 + 3.605 = 6.605$ saniye

• 7. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz $t \approx 6.605$ saniye değeri, verilen seçenekler arasında en çok hangi tam sayıya yakın olduğuna bakalım.

  Farkları inceleyelim:

  $|6.605 - 4| = 2.605$

  $|6.605 - 5| = 1.605$

  $|6.605 - 6| = 0.605$

  $|6.605 - 7| = 0.395$

  Görüldüğü gibi, $6.605$ saniye değeri, $7$ saniyeye diğer seçeneklerden daha yakındır.

Cevap D seçeneğidir.