Bugün, bir logaritma fonksiyonunun tanım kümesini nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Tanım kümesi, bir fonksiyonun tanımlı olabilmesi için $x$ değerlerinin alabileceği aralıktır. Logaritma fonksiyonları için çok önemli bir kuralımız var.
- Logaritma Fonksiyonunun Tanım Kuralı: Bir $\log_b(A)$ ifadesinin tanımlı olabilmesi için, logaritmanın içindeki ifade (argüman) MUTLAKA sıfırdan büyük olmalıdır. Yani, $A > 0$ olmalıdır. Ayrıca, taban $b$ de sıfırdan büyük ve $1$'e eşit olmamalıdır ($b > 0$ ve $b \neq 1$). Sorudaki fonksiyonumuzda taban belirtilmediği için genellikle $10$ (ortak logaritma) veya $e$ (doğal logaritma) olduğu varsayılır ve bu tabanlar zaten kuralı sağlar. Bu yüzden sadece argümana odaklanacağız.
- Fonksiyonumuzu İnceleyelim: Bize verilen fonksiyon $\log(x-5)$ şeklindedir. Burada logaritmanın içindeki ifade (argüman) $x-5$'tir.
- Kuralı Uygulayalım: Logaritmanın tanımlı olabilmesi için argümanın sıfırdan büyük olması gerektiğini biliyoruz. O halde, $x-5 > 0$ eşitsizliğini kurmalıyız.
- Eşitsizliği Çözelim: Şimdi bu eşitsizliği $x$ için çözelim. Eşitsizliğimiz $x-5 > 0$ şeklindedir. Eşitsizliğin her iki tarafına $5$ ekleyerek $x$'i yalnız bırakırız: $x-5 + 5 > 0 + 5$. Bu işlem sonucunda $x > 5$ elde ederiz.
- Tanım Kümesini Belirleyelim: $x > 5$ ifadesi, $x$'in $5$'ten büyük tüm gerçek sayı değerlerini alabileceği anlamına gelir. Bu durumu matematiksel olarak aralık gösterimiyle $(5, \infty)$ şeklinde ifade ederiz. Parantezler, $5$ değerinin tanım kümesine dahil olmadığını gösterir, çünkü $x$ tam olarak $5$ olursa, logaritmanın içi $0$ olur ve $\log(0)$ tanımsızdır.
- Seçenekleri Kontrol Edelim: Bulduğumuz tanım kümesi $(5, \infty)$ seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
