Belirli integralin temel teoremine göre, \( \int_a^b f(x) \, dx \) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) \( f(b) - f(a) \)
B) \( F(a) - F(b) \)
C) \( F(b) - F(a) \) burada \( F'(x) = f(x) \)
D) \( f(a) + f(b) \)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, belirli integralin temel teoremini kullanarak bir belirli integralin nasıl hesaplandığını anlamamız isteniyor. Belirli integral, bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki net değişimini veya grafiği ile x ekseni arasında kalan alanı (işaretli alanı) temsil eder.
- Belirli İntegral Nedir?
$ \int_a^b f(x) \, dx $ ifadesi, $ f(x) $ fonksiyonunun $ x=a $ noktasından $ x=b $ noktasına kadar olan belirli integralini gösterir. Bu integralin değeri, $ f(x) $ fonksiyonunun $ [a, b] $ aralığındaki "birikimini" veya "net değişimini" verir.
- Belirli İntegralin Temel Teoremi (İkinci Kısım):
Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Belirli İntegralin Temel Teoremi (genellikle İkinci Kısım olarak adlandırılır), bir belirli integrali hesaplamanın yolunu gösterir. Bu teorem der ki:
Eğer $ f(x) $ fonksiyonu $ [a, b] $ aralığında sürekli ise ve $ F(x) $ fonksiyonu, $ f(x) $'in herhangi bir ters türevi (yani $ F'(x) = f(x) $) ise, o zaman belirli integral şu şekilde hesaplanır:
$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $
- Seçenekleri İnceleyelim:
- A) $ f(b) - f(a) $: Bu ifade, fonksiyonun kendisinin $ b $ ve $ a $ noktalarındaki değerlerinin farkıdır. Bu, belirli integralin tanımı değildir ve genellikle ortalama değişim oranı gibi kavramlarla ilişkilidir, integralin değeriyle değil.
- B) $ F(a) - F(b) $: Bu ifade, belirli integralin temel teoremindeki formüle çok benzer, ancak $ F(b) $ ve $ F(a) $ değerlerinin sırası terstir. Doğru formül $ F(b) - F(a) $ olmalıdır. Bu nedenle bu seçenek yanlıştır.
- C) $ F(b) - F(a) $ burada $ F'(x) = f(x) $: Bu seçenek, Belirli İntegralin Temel Teoremi'nin tam ve doğru ifadesidir. $ F(x) $ fonksiyonu, $ f(x) $'in bir ters türevi (antiderivatif) olduğunda, belirli integralin değeri, ters türevin üst sınırda aldığı değerden alt sınırda aldığı değerin çıkarılmasıyla bulunur.
- D) $ f(a) + f(b) $: Bu ifade, fonksiyonun $ a $ ve $ b $ noktalarındaki değerlerinin toplamıdır. Bu da belirli integralin tanımıyla veya hesaplama yöntemiyle ilgili değildir.
- Sonuç:
Belirli integralin temel teoremi, bir fonksiyonun belirli integralini hesaplamak için o fonksiyonun bir ters türevini bulup, bu ters türevi üst ve alt sınırlarda değerlendirip farkını almamızı söyler. Bu tanıma en uygun seçenek C seçeneğidir.
Cevap C seçeneğidir.
