Bu soruda, belirli integral konusunu pekiştireceğimiz bir problemle karşı karşıyayız. Sorumuz, $ \int_1^e \frac{1}{x} \, dx $ integralinin değerini bulmakla ilgili.
Bu tür belirli integralleri çözmek için Temel İntegral Teoremi'ni kullanırız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: İntegral Fonksiyonunu Tanıma
- Öncelikle, integralini almamız gereken fonksiyon $ f(x) = \frac{1}{x} $ şeklindedir. Bu fonksiyonun belirsiz integralini bilmemiz gerekiyor.
- Matematikte, $ \frac{1}{x} $ fonksiyonunun belirsiz integrali $ \ln|x| + C $ olarak ifade edilir. Burada $ \ln $ doğal logaritmayı temsil eder ve $ |x| $ ise $ x $'in mutlak değeridir. İntegral sınırlarımız ($ 1 $ ve $ e $) pozitif olduğu için mutlak değere ihtiyacımız olmayacak, yani $ \ln x $ kullanabiliriz.
- Adım 2: Temel İntegral Teoremi'ni Uygulama
- Belirli integralin değeri, integralin üst sınırı ile alt sınırı arasındaki antiderivatifin farkı olarak bulunur. Yani, $ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $ formülünü kullanacağız. Burada $ F(x) $ fonksiyonu $ f(x) $'in antiderivatifi (ilkel fonksiyonu)dir.
- Bizim durumumuzda $ F(x) = \ln x $, alt sınır $ a=1 $ ve üst sınır $ b=e $ dir.
- Adım 3: Sınır Değerlerini Yerine Koyma
- Şimdi $ F(e) - F(1) $ değerini hesaplayacağız:
- $ F(e) = \ln e $
- $ F(1) = \ln 1 $
- Adım 4: Logaritma Değerlerini Hesaplama
- Doğal logaritmanın temel özelliklerini hatırlayalım:
- $ \ln e $: Doğal logaritmanın tabanı $ e $ olduğu için, $ \ln e $ değeri $ 1 $'e eşittir. Çünkü $ e^1 = e $ dir.
- $ \ln 1 $: Herhangi bir tabana göre $ 1 $'in logaritması $ 0 $'a eşittir. Çünkü $ e^0 = 1 $ dir.
- Adım 5: Sonucu Bulma
- Bulduğumuz değerleri yerine koyarsak:
- $ \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1 $
Böylece, $ \int_1^e \frac{1}{x} \, dx $ integralinin değeri $ 1 $ olarak bulunur.
Cevap B seçeneğidir.
