Bir firma, ürettiği ürünlerin satış fiyatı \( x \) TL olmak üzere günlük kârını \( K(x) = -2x^2 + 80x - 600 \) fonksiyonu ile hesaplamaktadır. Maksimum kâr için satış fiyatı kaç TL olmalıdır?
A) 10Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, bir firmanın günlük kârını veren bir fonksiyon ve bu kârı maksimum yapmak için satış fiyatının ne olması gerektiği soruluyor. Adım adım bu problemi çözelim:
Firmanın günlük kârını veren fonksiyon $K(x) = -2x^2 + 80x - 600$ olarak verilmiştir. Burada $x$, ürünün satış fiyatını temsil etmektedir.
Bu fonksiyon, ikinci dereceden bir fonksiyondur (yani bir paraboldür). $x^2$ teriminin katsayısı $a = -2$ olduğu için (negatif bir sayı), bu parabol aşağıya doğru açılır. Aşağıya doğru açılan bir parabolün bir tepe noktası vardır ve bu tepe noktası, fonksiyonun alabileceği en büyük (maksimum) değeri temsil eder. Bizden istenen de bu maksimum kârı sağlayan satış fiyatı $x$ değeridir.
Genel olarak, $ax^2 + bx + c$ şeklindeki ikinci dereceden bir fonksiyonun tepe noktasının $x$ koordinatı (apsisi) $x = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur. Bu $x$ değeri, fonksiyonun maksimum veya minimum değerini aldığı noktadır. Bizim durumumuzda, $a$ negatif olduğu için bu formül bize maksimum değeri veren $x$ değerini verecektir.
Verilen kâr fonksiyonu $K(x) = -2x^2 + 80x - 600$ şeklindedir.
Bu fonksiyonda, genel $ax^2 + bx + c$ formülüyle karşılaştırdığımızda katsayılar şunlardır:
Şimdi, tepe noktasının $x$ koordinatı formülünü kullanarak maksimum kârı sağlayacak satış fiyatı $x$ değerini bulalım:
$x = -\frac{b}{2a}$
Katsayıları yerine yazalım:
$x = -\frac{80}{2(-2)}$
$x = -\frac{80}{-4}$
$x = 20$
Bu hesaplama sonucunda, ürünün satış fiyatı $x = 20$ TL olduğunda firmanın günlük kârı maksimum seviyeye ulaşacaktır.
Cevap B seçeneğidir.
