10. Sınıf Karesel Fonksiyonlar (Parabol) Test 1

\( y = x^2 - 4x + m \) parabolü x eksenine teğet olduğuna göre m kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir parabolün x eksenine teğet olma durumunu inceleyeceğiz. Bir parabolün x eksenine teğet olması ne anlama gelir, gelin adım adım çözelim:

• 1. Adım: Parabolün x eksenine teğet olmasının anlamı

  Bir parabolün x eksenine teğet olması demek, parabolün x eksenini sadece bir noktada kesmesi veya başka bir deyişle, parabolün denklemini sıfıra eşitlediğimizde (yani $y=0$ aldığımızda) elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemin tek bir kökü olması demektir. Bu durum, ikinci dereceden denklemlerin diskriminantı ($\Delta$) ile ilişkilidir.

• 2. Adım: Diskriminant ($\Delta$) kavramı

  Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde ise, bu denklemin köklerinin sayısı ve türü diskriminant ($\Delta$) değeri ile belirlenir. Diskriminantın formülü $\Delta = b^2 - 4ac$'dir.

  • Eğer $\Delta > 0$ ise, denklemin iki farklı reel kökü vardır (parabol x eksenini iki farklı noktada keser).
  • Eğer $\Delta < 0$ ise, denklemin reel kökü yoktur (parabol x eksenini kesmez).
  • Eğer $\Delta = 0$ ise, denklemin birbirine eşit iki reel kökü vardır (yani tek bir kökü vardır). Bu durumda parabol x eksenine teğettir.
• 3. Adım: Denklemi ve katsayıları belirleme

  Bize verilen parabol denklemi $y = x^2 - 4x + m$. Parabolün x eksenine teğet olması için $y=0$ olmalıdır. Yani $x^2 - 4x + m = 0$ denkleminin tek bir kökü olmalıdır.

  Bu denklemde katsayıları belirleyelim:

  • $a = 1$ ( $x^2$'nin katsayısı)
  • $b = -4$ ( $x$'in katsayısı)
  • $c = m$ (sabit terim)
• 4. Adım: Diskriminantı sıfıra eşitleme ve $m$ değerini bulma

  Parabol x eksenine teğet olduğu için diskriminant sıfır olmalıdır: $\Delta = 0$.

  Şimdi katsayıları diskriminant formülüne yerleştirelim:

  $b^2 - 4ac = 0$

  $(-4)^2 - 4(1)(m) = 0$

  $16 - 4m = 0$

  $16 = 4m$

  $m = \frac{16}{4}$

  $m = 4$

Buna göre, $m$ değeri $4$ olmalıdır.

Cevap C seçeneğidir.