Bir biyolog, hücre kültüründeki bakteri popülasyonunun her 20 dakikada bir iki katına çıktığını gözlemliyor.
Başlangıçta 10 bakteri bulunan ortamda 2 saat sonra oluşan tüm bakterilerin toplam hacmi için ne söylenebilir?
Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için bakteri popülasyonlarının büyüme prensiplerini ve zaman birimlerini doğru anlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
Soruda, bakteri popülasyonunun her 20 dakikada bir iki katına çıktığı belirtiliyor. Bu ifade, popülasyonun sabit bir miktar eklenerek değil, mevcut miktarının belirli bir oranda (burada iki katına çıkarak) arttığı anlamına gelir. Bu tür bir büyüme, matematikte üstel (eksponansiyel) büyüme olarak adlandırılır.
Bakteri popülasyonunun iki katına çıkma süresi 20 dakika olarak verilmiş. Toplam gözlem süresi ise 2 saat. Hesaplama yapabilmek için bu iki zaman birimini aynı türe çevirmemiz gerekiyor. 1 saat $60$ dakikadır, dolayısıyla 2 saat:
$2 \text{ saat} = 2 \times 60 \text{ dakika} = 120 \text{ dakika}$
Toplam süre $120$ dakika ve her $20$ dakikada bir iki katına çıkıyor. Bu durumda, $120$ dakika içinde kaç kez iki katına çıkacağını bulmak için bölme işlemi yaparız:
İki katına çıkma sayısı $= \frac{\text{Toplam süre}}{\text{İki katına çıkma periyodu}} = \frac{120 \text{ dakika}}{20 \text{ dakika}} = 6 \text{ kez}$
Yani, bakteri popülasyonu 2 saat içinde tam 6 kez iki katına çıkacaktır.
Başlangıçta $10$ bakteri olduğunu biliyoruz. Her 20 dakikada bir popülasyonun nasıl değiştiğine bakalım:
Başlangıç (0. dakika): $10$ bakteri
20. dakika (1. katlama): $10 \times 2 = 20$ bakteri
40. dakika (2. katlama): $20 \times 2 = 40$ bakteri
60. dakika (3. katlama): $40 \times 2 = 80$ bakteri
80. dakika (4. katlama): $80 \times 2 = 160$ bakteri
100. dakika (5. katlama): $160 \times 2 = 320$ bakteri
120. dakika (6. katlama): $320 \times 2 = 640$ bakteri
Gördüğünüz gibi, popülasyon her adımda bir önceki adımın iki katı oluyor. Bu, popülasyonun $10 \times 2^n$ formülüyle büyüdüğü anlamına gelir, burada $n$ iki katına çıkma sayısıdır. Bizim durumumuzda $n=6$ olduğu için, $10 \times 2^6 = 10 \times 64 = 640$ bakteri olacaktır.
Popülasyonun her 20 dakikada bir iki katına çıkması, yani sabit bir oranda (çarpanla) artması, katlanarak artma veya üstel (eksponansiyel) büyüme olarak tanımlanır. Doğrusal büyümede ise her zaman diliminde sabit bir miktar eklenirdi (örneğin, her 20 dakikada 10 bakteri artması gibi).
Her bir bakterinin belirli bir hacmi olduğunu varsayarsak, bakteri sayısı nasıl artıyorsa, toplam bakteri hacmi de aynı şekilde artacaktır. Eğer bakteri sayısı katlanarak artıyorsa, toplam hacim de katlanarak artar.
Bu analizler sonucunda, bakteri popülasyonunun ve dolayısıyla toplam hacminin katlanarak arttığını söyleyebiliriz.
Cevap C seçeneğidir.
