İrrasyonel sayılar, rasyonel sayılar kümesine (Q) dahil olmayan gerçek sayılardır. Yani, iki tam sayının birbirine oranı şeklinde (kesir olarak) yazılamayan sayılara irrasyonel sayı denir.
Bir sayının irrasyonel olduğunu göstermenin en yaygın yolu çelişki yöntemidir. En meşhur örnek \( \sqrt{2} \) sayısının irrasyonelliğinin ispatıdır:
💡 \( \sqrt{2} \) Sayısının İrrasyonel Olduğunun İspatı (Özet)
Varsayalım ki \( \sqrt{2} \) rasyonel bir sayı olsun. Bu durumda, aralarında asal (1'den başka ortak böleni olmayan) iki tam sayı olan \( a \) ve \( b \) için \( \sqrt{2} = \frac{a}{b} \) yazabiliriz.
Her iki tarafın karesini alırsak: \( 2 = \frac{a^2}{b^2} \) → \( a^2 = 2b^2 \).
Bu, \( a^2 \)'nin çift sayı olduğunu, dolayısıyla \( a \)'nın da çift sayı olduğunu gösterir. O halde \( a = 2k \) diyebiliriz.
Yerine yazarsak: \( (2k)^2 = 2b^2 \) → \( 4k^2 = 2b^2 \) → \( b^2 = 2k^2 \).
Bu da \( b^2 \)'nin ve dolayısıyla \( b \)'nin çift sayı olduğunu gösterir. Ancak başlangıçta \( a \) ve \( b \)'nin aralarında asal olduğunu varsaymıştık. İki çift sayı aralarında asal olamaz. Bu bir çelişkidir.
Sonuç: Varsayımımız yanlıştır. \( \sqrt{2} \) rasyonel bir sayı değildir, yani irrasyoneldir. ✅
Önemli Not: İrrasyonel sayılar, sayı doğrusunda rasyonel sayıların aralarını doldurur ve gerçek sayılar doğrusunu "sürekli" hale getirir. 🎯
