x²+bx+c şeklindeki ifadelerin çarpanlara ayrılması Test 1

Bir üçgenin taban uzunluğu \(x+3\) cm, yüksekliği \(x-2\) cm'dir. Bu üçgenin alanı 44 cm² olduğuna göre, \(x^2+x-50\) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?

A) \((x-10)(x+5)\)
B) \((x-7)(x+8)\)
C) \((x-5)(x+10)\)
D) \((x-8)(x+7)\)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruyu adım adım çözerek hem üçgenin alan formülünü hatırlayacak hem de cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırma becerimizi pekiştireceğiz. Haydi başlayalım!

• 1. Üçgenin Alan Formülünü Hatırlayalım:

  Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir. Matematiksel olarak ifade edersek:

  Alan $= \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}$

• 2. Verilen Bilgileri Formülde Yerine Koyalım:

  Soruda bize taban uzunluğu $x+3$ cm, yüksekliği $x-2$ cm ve alanı $44$ cm² olarak verilmiş. Bu değerleri formülde yerine yazalım:

  $44 = \frac{(x+3) \times (x-2)}{2}$

• 3. Denklemi Çözerek $x$ ile İlgili İfadeyi Bulalım:

  Şimdi bu denklemi $x$ cinsinden bir ifade elde etmek için adım adım çözelim:

  • Denklemin her iki tarafını $2$ ile çarpalım:
  • $44 \times 2 = (x+3)(x-2)$
  • $88 = (x+3)(x-2)$
  • Sağ taraftaki parantezleri dağıtalım (çarpalım):
  • $(x+3)(x-2) = x \times x + x \times (-2) + 3 \times x + 3 \times (-2)$
  • $= x^2 - 2x + 3x - 6$
  • $= x^2 + x - 6$
  • Şimdi denklemi tekrar yazalım:
  • $88 = x^2 + x - 6$
  • Tüm terimleri denklemin bir tarafına toplayalım (genellikle sağ taraftaki terimleri sol tarafa atarız):
  • $0 = x^2 + x - 6 - 88$
  • $x^2 + x - 94 = 0$
  • Bu denklem, $x$ değerini bulmak için kullanabileceğimiz bir ikinci dereceden denklemdir. Ancak soruda bizden $x^2+x-50$ ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali isteniyor.
• 4. İstenen İfadeyi Çarpanlarına Ayırma Yöntemini Uygulayalım:

  Soru bizden $x^2+x-50$ ifadesinin çarpanlarına ayrılmış halini istiyor. Ancak bu ifade tam sayılarla çarpanlarına ayrılmaz. Bu tür durumlarda, seçenekleri inceleyerek doğru cevabı bulmak daha pratik bir yöntem olabilir. Seçeneklerdeki ifadeleri açarak hangi ifadenin $x^2+x$ terimlerini içerdiğini ve çarpanlarına ayrılmış hali olduğunu kontrol edelim:

  • A) $(x-10)(x+5)$:
  • $(x-10)(x+5) = x^2 + 5x - 10x - 50 = x^2 - 5x - 50$
  • Bu ifade $x^2+x$ terimlerini içermiyor.
  • B) $(x-7)(x+8)$:
  • $(x-7)(x+8) = x^2 + 8x - 7x - 56 = x^2 + x - 56$
  • Bu ifade $x^2+x$ terimlerini içeriyor.
  • C) $(x-5)(x+10)$:
  • $(x-5)(x+10) = x^2 + 10x - 5x - 50 = x^2 + 5x - 50$
  • Bu ifade $x^2+x$ terimlerini içermiyor.
  • D) $(x-8)(x+7)$:
  • $(x-8)(x+7) = x^2 + 7x - 8x - 56 = x^2 - x - 56$
  • Bu ifade $x^2+x$ terimlerini içermiyor.
• 5. Sonucu Belirleyelim:

  Seçenekleri incelediğimizde, sadece B seçeneğindeki ifadenin açılımının $x^2+x$ terimlerini içerdiğini görüyoruz. Bu tür sorularda, genellikle $x^2+x$ gibi ortak bir terim yapısı aranır ve seçenekler arasında bu yapıya en uygun olan seçilir.

Cevap B seçeneğidir.