Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda bir dikdörtgenin alanı cebirsel bir ifade olarak verilmiş ve kenar uzunluklarının tam sayı olduğu bilgisiyle çevresini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Dikdörtgenin Alan İfadesini Çarpanlarına Ayırma
- Bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımına eşittir. Bize verilen alan ifadesi $x^2+11x+24$ birimkaredir. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırarak kenar uzunluklarını bulabiliriz.
- $x^2+11x+24$ ifadesini çarpanlarına ayırmak için, çarpımları 24 ve toplamları 11 olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar 3 ve 8'dir (çünkü $3 \times 8 = 24$ ve $3 + 8 = 11$).
- O halde, alan ifadesi $(x+3)(x+8)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
- Adım 2: Dikdörtgenin Kenar Uzunluklarını Belirleme
- Alan ifadesini çarpanlarına ayırdığımızda, dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulmuş oluruz. Bu durumda, kenar uzunlukları $(x+3)$ birim ve $(x+8)$ birimdir.
- Soruda kenar uzunluklarının birer tam sayı olduğu belirtilmiştir. Bu, $x$ değerinin de bir tam sayı olması gerektiği anlamına gelir ki $(x+3)$ ve $(x+8)$ ifadeleri tam sayı olsun. Ayrıca, kenar uzunlukları pozitif olmalıdır, yani $x+3 > 0$ ve $x+8 > 0$ olmalıdır. Bu da $x > -3$ demektir.
- Adım 3: $x$ Değerini Bulma ve Kenar Uzunluklarını Hesaplama
- Soruda verilen alan ifadesi $x^2+11x+24$ ve seçenekler sabit sayılar olduğuna göre, $x$ için belirli bir değer olması gerekir. Bu tür sorularda genellikle $x=0$ gibi basit bir tam sayı değeri denemek işe yarar.
- Eğer $x=0$ alırsak:
- Alan: $0^2+11(0)+24 = 24$ birimkare olur.
- Kenar uzunlukları: $(0+3)=3$ birim ve $(0+8)=8$ birim olur.
- Bu kenar uzunlukları (3 ve 8) birer tam sayıdır ve pozitiflerdir. Ayrıca, $3 \times 8 = 24$ olduğu için alan da doğru olur. Demek ki $x=0$ değeri bu koşulları sağlamaktadır.
- Adım 4: Dikdörtgenin Çevresini Hesaplama
- Dikdörtgenin çevresi, $2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar})$ formülüyle bulunur.
- Kenar uzunluklarımız 3 birim ve 8 birim olduğuna göre:
- Çevre $= 2 \times (3 + 8)$
- Çevre $= 2 \times (11)$
- Çevre $= 22$ birimdir.
Cevap B seçeneğidir.
