Koordinat sisteminde C(0, -4) noktası orijin etrafında saat yönünde 180° döndürülüyor.
Dönme sonucu elde edilen nokta için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x ekseni üzerindedir
B) y ekseni üzerindedir
C) orijine 8 birim uzaklıktadır
D) 3. bölgededir
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, koordinat sistemindeki bir noktanın orijin etrafında döndürülmesi işlemini ve bu işlemin sonucunu inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Başlangıç Noktasını Anlayalım:
Bize verilen başlangıç noktası $C(0, -4)$'tür. Bu ne anlama geliyor? Bir noktanın koordinatları $(x, y)$ şeklinde yazılır. Yani, $C$ noktasının $x$ koordinatı $0$, $y$ koordinatı ise $-4$'tür. Bu nokta, $y$ ekseni üzerinde, negatif kısımda yer alır.
- 2. Dönme İşlemini Tanıyalım:
Nokta, orijin etrafında saat yönünde $180^\circ$ döndürülüyor. Orijin etrafında $180^\circ$ dönme, bir noktanın koordinatlarını değiştiren özel bir dönme türüdür. İster saat yönünde ister saat yönünün tersine olsun, $180^\circ$ dönme kuralı aynıdır.
- 3. $180^\circ$ Dönme Kuralını Uygulayalım:
Orijin etrafında $180^\circ$ döndürülen bir $(x, y)$ noktasının yeni koordinatları $(-x, -y)$ olur. Yani, her iki koordinatın da işaretleri değişir.
- Başlangıç noktamız $C(0, -4)$ idi.
- Yeni $x$ koordinatı: $-(0) = 0$.
- Yeni $y$ koordinatı: $-(-4) = 4$.
Bu durumda, dönme sonucu elde edilen yeni nokta $C'(0, 4)$ olur.
- 4. Seçenekleri Yeni Noktaya Göre Değerlendirelim:
Şimdi $C'(0, 4)$ noktasını seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) x ekseni üzerindedir: Bir nokta $x$ ekseni üzerinde ise $y$ koordinatı $0$ olmalıdır. $C'(0, 4)$ noktasının $y$ koordinatı $4$'tür. Bu yüzden A seçeneği yanlıştır.
- B) y ekseni üzerindedir: Bir nokta $y$ ekseni üzerinde ise $x$ koordinatı $0$ olmalıdır. $C'(0, 4)$ noktasının $x$ koordinatı $0$'dır. Bu yüzden B seçeneği doğrudur.
- C) orijine 8 birim uzaklıktadır: Bir noktanın orijine uzaklığı $\sqrt{x^2 + y^2}$ formülüyle bulunur. $C'(0, 4)$ noktasının orijine uzaklığı $\sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4$ birimdir. Bu yüzden C seçeneği yanlıştır. (Unutmayın, dönme işlemi noktanın orijine olan uzaklığını değiştirmez. Başlangıç noktası $C(0, -4)$ da orijine $4$ birim uzaklıktaydı.)
- D) 3. bölgededir: 3. bölgedeki noktaların hem $x$ hem de $y$ koordinatları negatiftir (örneğin $(-2, -5)$ gibi). $C'(0, 4)$ noktasının $x$ koordinatı $0$, $y$ koordinatı ise pozitiftir. Bu nokta pozitif $y$ ekseni üzerindedir, 3. bölgede değildir. Bu yüzden D seçeneği yanlıştır.
Yapılan incelemeler sonucunda, dönme sonrası elde edilen $C'(0, 4)$ noktasının $y$ ekseni üzerinde olduğu sonucuna varırız.
Cevap B seçeneğidir.
