Bir doğru ile bir parabolün birbirine göre durumları Test 1

y = -x² + 4x - 1 parabolü ile y = 2 doğrusunun kesişim noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir parabol ile bir doğrunun kesişim noktalarının apsisleri toplamını bulmamız isteniyor. Kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitlememiz ve ardından elde ettiğimiz denklemin kökler toplamını bulmamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Kesişim noktalarını bulmak için denklemleri eşitleyelim.

  İki fonksiyonun kesişim noktalarını bulmak için $y$ değerlerini birbirine eşitleriz. Bize verilen denklemler:

  • Parabol: $y = -x^2 + 4x - 1$
  • Doğru: $y = 2$

  Bu iki denklemi eşitlediğimizde:

  $-x^2 + 4x - 1 = 2$

• Adım 2: Denklemi standart bir ikinci dereceden denklem ($ax^2 + bx + c = 0$) haline getirelim.

  Eşitliğin sağındaki $2$ sayısını sol tarafa atarak denklemi düzenleyelim:

  $-x^2 + 4x - 1 - 2 = 0$

  $-x^2 + 4x - 3 = 0$

  Denklemi daha kolay işlem yapabilmek için her iki tarafı $-1$ ile çarpabiliriz. Bu, denklemin köklerini değiştirmez:

  $x^2 - 4x + 3 = 0$

  Bu denklem, kesişim noktalarının $x$ koordinatlarını (apsislerini) veren ikinci dereceden bir denklemdir. Bu denklemin kökleri $x_1$ ve $x_2$ olsun. Bu kökler, parabol ile doğrunun kesiştiği noktaların apsisleridir.

• Adım 3: Kesişim noktalarının apsisleri toplamını (kökler toplamını) bulalım.

  Bir $ax^2 + bx + c = 0$ şeklindeki ikinci dereceden denklemin kökler toplamı, $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ formülü ile bulunur.

  Bizim denklemimiz $x^2 - 4x + 3 = 0$ olduğuna göre, katsayıları belirleyelim:

  • $a = 1$ (çünkü $x^2$'nin katsayısı $1$)
  • $b = -4$ (çünkü $x$'in katsayısı $-4$)
  • $c = 3$ (sabit terim)

  Şimdi kökler toplamı formülünü uygulayalım:

  $x_1 + x_2 = -\frac{(-4)}{1}$

  $x_1 + x_2 = \frac{4}{1}$

  $x_1 + x_2 = 4$

  Yani, parabol ile doğrunun kesişim noktalarının apsisleri toplamı $4$'tür.

Cevap C seçeneğidir.