Diziler AYT konu anlatımı Test 1

Bir (b_n) dizisi b₁ = 1 ve her n ≥ 1 için b_n+1 = 2b_n + 1 şeklinde tanımlanıyor. Buna göre b₄ kaçtır?

A) 7
B) 15
C) 31
D) 63

Bu soruda, bir dizinin ilk terimi ve terimler arasındaki ilişki (yineleme bağıntısı) verilmiştir. Bizden dizinin dördüncü terimini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu değeri kolayca bulabiliriz.

• Adım 1: İlk terimi belirleyelim.

  Soruda bize dizinin ilk terimi olan $b_1$ değeri verilmiştir:

  $b_1 = 1$

• Adım 2: İkinci terimi ($b_2$) bulalım.

  Dizinin genel kuralı $b_{n+1} = 2b_n + 1$ şeklindedir. $n=1$ için bu kuralı kullanarak $b_2$ terimini bulabiliriz:

  $b_{1+1} = 2b_1 + 1$

  $b_2 = 2(1) + 1$

  $b_2 = 2 + 1$

  $b_2 = 3$

• Adım 3: Üçüncü terimi ($b_3$) bulalım.

  Şimdi $n=2$ için genel kuralı kullanarak $b_3$ terimini bulabiliriz. Bunun için bir önceki terim olan $b_2$ değerini kullanacağız:

  $b_{2+1} = 2b_2 + 1$

  $b_3 = 2(3) + 1$

  $b_3 = 6 + 1$

  $b_3 = 7$

• Adım 4: Dördüncü terimi ($b_4$) bulalım.

  Son olarak, $n=3$ için genel kuralı kullanarak $b_4$ terimini bulabiliriz. Bunun için bir önceki terim olan $b_3$ değerini kullanacağız:

  $b_{3+1} = 2b_3 + 1$

  $b_4 = 2(7) + 1$

  $b_4 = 14 + 1$

  $b_4 = 15$

Buna göre, dizinin dördüncü terimi $b_4 = 15$'tir.

Cevap B seçeneğidir.