Trigonometrik denklemler nedir Test 1

$\tan x + \cot x = 2$ denkleminin $[0, \pi)$ aralığındaki çözüm kümesi nedir?

A) $\{\frac{\pi}{4}\}$
B) $\{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\}$
C) $\{\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\}$
D) $\{\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, trigonometrik bir denklemi adım adım nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz. Denklemlerin çözümünde temel trigonometrik özdeşlikleri ve dönüşümleri kullanmak çok önemlidir. Haydi başlayalım!

• Denklemi Temel Trigonometrik Oranlara Çevirme:

  İlk adım olarak, $\tan x$ ve $\cot x$ ifadelerini $\sin x$ ve $\cos x$ cinsinden yazalım. Hatırlayalım ki $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ ve $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$'tir. Bu dönüşümleri denklemde yerine koyarsak:

  $\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = 2$

• Paydaları Eşitleme ve Denklemi Sadeleştirme:

  Şimdi sol taraftaki kesirlerin paydalarını eşitleyelim. Ortak payda $\sin x \cos x$ olacaktır:

  $\frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \sin x} + \frac{\cos x \cdot \cos x}{\sin x \cdot \cos x} = 2$

  $\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = 2$

  Burada temel trigonometrik özdeşliklerden biri olan $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ eşitliğini kullanabiliriz. Bu durumda denklemimiz çok daha sade bir hale gelir:

  $\frac{1}{\sin x \cos x} = 2$

• Denklemi Bilinen Bir Formata Getirme:

  Şimdi denklemi yeniden düzenleyelim. Her iki tarafı $\sin x \cos x$ ile çarparsak:

  $1 = 2 \sin x \cos x$

  Bu ifade bize tanıdık gelmeli! $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ çift açı formülünü hatırlayalım. Bu formülü kullanarak denklemimizi şu şekilde yazabiliriz:

  $\sin(2x) = 1$

• $2x$ Değerini Bulma:

  Şimdi hangi açının sinüsünün $1$ olduğunu düşünelim. Birim çember üzerinde sinüs değeri $1$ olan açı $\frac{\pi}{2}$'dir. Genel çözüm olarak, $\sin \theta = 1$ denkleminin çözümü $\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ şeklindedir, burada $k$ bir tam sayıdır. O halde, $2x$ için yazabiliriz:

  $2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$

• $x$ Değerini Bulma ve Çözüm Aralığını Kontrol Etme:

  $x$'i bulmak için her tarafı $2$'ye bölelim:

  $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$

  Şimdi, soruda verilen $[0, \pi)$ aralığındaki çözümleri bulmak için $k$ değerlerine bakalım:

  • Eğer $k=0$ ise: $x = \frac{\pi}{4} + 0\pi = \frac{\pi}{4}$. Bu değer $[0, \pi)$ aralığındadır.
  • Eğer $k=1$ ise: $x = \frac{\pi}{4} + 1\pi = \frac{5\pi}{4}$. Bu değer $\pi$'den büyüktür, yani $[0, \pi)$ aralığında değildir.
  • Eğer $k=-1$ ise: $x = \frac{\pi}{4} - 1\pi = -\frac{3\pi}{4}$. Bu değer $0$'dan küçüktür, yani $[0, \pi)$ aralığında değildir.

  Bu durumda, verilen aralıktaki tek çözüm $x = \frac{\pi}{4}$'tür.

• Tanımsızlık Durumlarını Kontrol Etme:

  Denklemin başlangıcında $\tan x$ ve $\cot x$ ifadeleri vardı. $\tan x$, $\cos x = 0$ olduğunda (yani $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$) tanımsızdır. $\cot x$, $\sin x = 0$ olduğunda (yani $x = 0, \pi, 2\pi, \dots$) tanımsızdır. Bulduğumuz $x = \frac{\pi}{4}$ değeri bu tanımsızlık noktalarından hiçbiri değildir, dolayısıyla çözümümüz geçerlidir.

Bu adımları takip ederek, denklemin $[0, \pi)$ aralığındaki çözüm kümesinin $\{\frac{\pi}{4}\}$ olduğunu bulduk.

Cevap A seçeneğidir.