Trigonometrik denklemler nedir Test 1

Bir trigonometrik denklemde $\cos(2x) + \sin x = 0$ eşitliği veriliyor. Bu denklem aşağıdaki denklemlerden hangisine dönüştürülebilir?

A) $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
B) $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
C) $\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
D) $\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir trigonometrik denklemi, $\sin x$ cinsinden ikinci dereceden bir denkleme dönüştürmemiz isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu dönüşümü nasıl yapacağımızı görelim.

• Adım 1: Verilen Denklemi İnceleyelim

  Bize verilen denklem şudur:

  $\cos(2x) + \sin x = 0$

  Seçeneklere baktığımızda, tüm denklemlerin $\sin x$ cinsinden olduğunu görüyoruz. Bu, denklemin $\cos(2x)$ kısmını $\sin x$ cinsinden ifade etmemiz gerektiği anlamına geliyor.

• Adım 2: $\cos(2x)$ İçin Uygun Trigonometrik Özdeşliği Hatırlayalım

  Kosinüsün çift açı formüllerinden (yarım açı formülleri olarak da bilinir) birini kullanacağız. $\cos(2x)$ için üç farklı özdeşlik vardır:

  • $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$
  • $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$
  • $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$

  Amacımız denklemi tamamen $\sin x$ cinsinden yazmak olduğu için, üçüncü özdeşlik olan $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ bizim için en uygun olanıdır. Bu özdeşlik, $\cos(2x)$'i doğrudan $\sin x$ cinsinden ifade eder.

• Adım 3: Özdeşliği Denklemde Yerine Koyalım

  Şimdi, başlangıçtaki $\cos(2x) + \sin x = 0$ denkleminde $\cos(2x)$ yerine $1 - 2\sin^2 x$ yazalım:

  $(1 - 2\sin^2 x) + \sin x = 0$

• Adım 4: Denklemi Düzenleyelim

  Denklemi seçeneklerdeki gibi standart bir ikinci dereceden denklem formuna getirelim. Genellikle en yüksek dereceli terim (burada $\sin^2 x$) başta olacak şekilde sıralarız:

  $1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0$

  Terimleri yeniden sıralayalım:

  $-2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0$

  Seçeneklerde $\sin^2 x$ teriminin katsayısı pozitif olduğu için, denklemin her iki tarafını $-1$ ile çarpalım:

  $(-1) \cdot (-2\sin^2 x) + (-1) \cdot (\sin x) + (-1) \cdot (1) = (-1) \cdot (0)$

  Bu işlemi yaptığımızda elde ettiğimiz denklem şudur:

  $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

• Adım 5: Elde Edilen Denklemi Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Şimdi elde ettiğimiz $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ denklemini seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
  • B) $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
  • C) $\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
  • D) $\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

  Gördüğümüz gibi, elde ettiğimiz denklem A seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.