10. Sınıf Sinüs Teoremi ve İspatı Test 1

ABC üçgeninde |AB| = 10 cm, m(∠A) = 60° ve m(∠C) = 45° olduğuna göre, |BC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

A) 5√6
B) 10√6
C) 5√3
D) 10√3

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir üçgende verilen kenar uzunluğu ve açı değerlerini kullanarak başka bir kenar uzunluğunu bulacağız. Bu tür soruları çözmek için genellikle Sinüs Teoremi'ni kullanırız. Haydi adım adım çözümümüze başlayalım:

• 1. Adım: Verilen Bilgileri Belirleyelim

  Soruda bize ABC üçgeni için şu bilgiler verilmiş:

  $|AB| = c = 10$ cm (A açısının karşısındaki kenar $a$, B açısının karşısındaki kenar $b$, C açısının karşısındaki kenar $c$ olarak isimlendirilir.)

  $m(\angle A) = 60^\circ$

  $m(\angle C) = 45^\circ$

  Bizden istenen ise $|BC|$ kenarının uzunluğu, yani $a$ kenarıdır.

• 2. Adım: Sinüs Teoremi'ni Hatırlayalım

  Bir üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasında bir oran vardır. Bu orana Sinüs Teoremi denir:

  $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

  Bu teoremde, bildiğimiz kenar ve karşısındaki açı ile bulmak istediğimiz kenar ve karşısındaki açıyı kullanacağız.

• 3. Adım: Sinüs Teoremi'ni Uygulayalım

  Bizim elimizde $|AB|$ kenarı ($c$) ve karşısındaki $m(\angle C)$ açısı ile bulmak istediğimiz $|BC|$ kenarı ($a$) ve karşısındaki $m(\angle A)$ açısı var. Bu durumda Sinüs Teoremi'ni şöyle yazabiliriz:

  $\frac{|BC|}{\sin A} = \frac{|AB|}{\sin C}$

  Şimdi bilinen değerleri yerine yazalım:

  $\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 45^\circ}$

• 4. Adım: Trigonometrik Değerleri Yerine Yazalım

  Özel açılar olan $60^\circ$ ve $45^\circ$'nin sinüs değerlerini hatırlayalım:

  $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

  $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

  Bu değerleri denklemimize yerleştirelim:

  $\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

• 5. Adım: Denklemi Çözerek $|BC|$ Uzunluğunu Bulalım

  Şimdi $a$ değerini yalnız bırakmak için denklemi düzenleyelim:

  $a = 10 \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}$

  $a = 10 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

  Paydadaki $2$'ler sadeleşir:

  $a = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

  Paydayı kökten kurtarmak için ifadeyi $\sqrt{2}$ ile genişletelim (hem payı hem paydayı $\sqrt{2}$ ile çarpalım):

  $a = 10 \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$

  $a = 10 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}$

  Son olarak, $10$ ile $2$'yi sadeleştirelim:

  $a = 5\sqrt{6}$ cm

Böylece $|BC|$ kenarının uzunluğunu $5\sqrt{6}$ cm olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.