Bu soruda, verilen bir denklemi çözerek $a$ değerlerini bulacak ve ardından bu değerlerin toplamını hesaplayacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Denklemi Basitleştirme:
- İlk olarak, verilen denklemi $a^3$ terimini yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim.
- Denklemimiz: $a^3 + 27 = 35$
- Eşitliğin her iki tarafından $27$ çıkaralım:
- $a^3 = 35 - 27$
- $a^3 = 8$
- $a$ Değerlerini Bulma:
- Şimdi $a^3 = 8$ denklemini çözmemiz gerekiyor. Bu bir kübik denklemdir ve genellikle üç kökü (çözümü) vardır.
- 1. Yol: Doğrudan Küpkök Alma (Gerçel Kök):
- $a^3 = 8$ ise, $a$ değeri $8$'in küpkökü olacaktır.
- $a = \sqrt[3]{8}$
- $a = 2$
- Bu, denklemin gerçel köküdür. Ancak, kübik denklemlerin karmaşık (kompleks) kökleri de olabilir. Tüm kökleri bulmak için denklemi çarpanlarına ayırmamız gerekir.
- 2. Yol: Çarpanlara Ayırma (Tüm Kökler):
- Denklemi $a^3 - 8 = 0$ şeklinde yazalım.
- Bu ifade, iki küp farkı özdeşliğine uyar: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
- Burada $x = a$ ve $y = 2$ (çünkü $8 = 2^3$).
- Öyleyse, $a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = 0$
- $(a - 2)(a^2 + 2a + 4) = 0$
- Şimdi her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek kökleri bulalım:
- Birinci Çarpan: $a - 2 = 0 \Rightarrow a_1 = 2$. Bu, daha önce bulduğumuz gerçel köktür.
- İkinci Çarpan: $a^2 + 2a + 4 = 0$. Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Köklerini bulmak için diskriminant ($\Delta$) formülünü kullanalım: $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Burada $a=1$, $b=2$, $c=4$.
- $\Delta = (2)^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12$.
- Diskriminant negatif olduğu için, bu denklemin iki farklı karmaşık kökü vardır. Kökleri bulmak için genel formülü kullanalım: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- $a = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2(1)}$
- $a = \frac{-2 \pm \sqrt{12}i}{2}$ (çünkü $\sqrt{-1} = i$)
- $a = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{2}$
- Bu durumda, iki karmaşık kök şunlardır:
- $a_2 = -1 + \sqrt{3}i$
- $a_3 = -1 - \sqrt{3}i$
- Tüm $a$ Değerlerinin Toplamı:
- Bulduğumuz tüm $a$ değerlerini toplayalım:
- $a_1 = 2$
- $a_2 = -1 + \sqrt{3}i$
- $a_3 = -1 - \sqrt{3}i$
- Toplam $= a_1 + a_2 + a_3 = 2 + (-1 + \sqrt{3}i) + (-1 - \sqrt{3}i)$
- Toplam $= 2 - 1 + \sqrt{3}i - 1 - \sqrt{3}i$
- Pozitif ve negatif $\sqrt{3}i$ terimleri birbirini götürür.
- Toplam $= 2 - 1 - 1 = 0$
- Alternatif Yol (Vieta Formülleri):
- Bir kübik denklem $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$ şeklinde ise, kökler toplamı $-B/A$ formülüyle bulunur.
- Bizim denklemimiz $a^3 - 8 = 0$ idi. Bunu $1 \cdot a^3 + 0 \cdot a^2 + 0 \cdot a - 8 = 0$ şeklinde yazabiliriz.
- Burada $A=1$, $B=0$, $C=0$, $D=-8$.
- Kökler toplamı $= -B/A = -0/1 = 0$.
Gördüğünüz gibi, her iki yöntemle de $a$'nın alabileceği değerler toplamı $0$ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
