A = {x, y} ve B = {1, 2, 3} kümeleri için A x B kartezyen çarpımında kaç farklı sıralı ikili bulunur?
A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
Bu soruda, iki kümenin kartezyen çarpımında kaç farklı sıralı ikili bulunduğunu bulmamız isteniyor. Kartezyen çarpım, kümeler konusunun temel ve önemli bir parçasıdır. Gelin, adım adım bu soruyu çözelim.
1. Adım: Kümelerin Eleman Sayılarını (Kardinalitelerini) Belirleyelim
- İlk olarak, verilen A ve B kümelerinin kaçar elemanı olduğunu bulalım. Bu sayıya kümenin kardinalitesi denir ve genellikle $|A|$ veya $s(A)$ şeklinde gösterilir.
- A kümesi: $A = \{x, y\}$
- A kümesinin eleman sayısı: $|A| = 2$
- B kümesi: $B = \{1, 2, 3\}$
- B kümesinin eleman sayısı: $|B| = 3$
2. Adım: Kartezyen Çarpımının Tanımını Hatırlayalım
- İki kümenin, A ve B'nin, kartezyen çarpımı ($A \times B$), birinci bileşeni A kümesinden ve ikinci bileşeni B kümesinden alınan tüm olası sıralı ikililerin kümesidir. Yani, $(a, b)$ şeklindeki tüm ikililerdir, burada $a \in A$ ve $b \in B$.
3. Adım: Kartezyen Çarpımındaki Sıralı İkili Sayısını Bulalım
- Kartezyen çarpımındaki sıralı ikili sayısını bulmak için, kümelerin eleman sayılarını çarparız. Yani, $|A \times B| = |A| \times |B|$ formülünü kullanırız.
- Bu durumda: $|A \times B| = 2 \times 3$
- Sonuç: $|A \times B| = 6$
4. Adım: (İsteğe Bağlı) Sıralı İkilileri Listeleyelim
- Anlamayı pekiştirmek için, bu sıralı ikililerin neler olduğunu da görelim:
- $A \times B = \{(x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 1), (y, 2), (y, 3)\}$
- Gördüğünüz gibi, toplam 6 farklı sıralı ikili bulunmaktadır.
Bu adımları takip ettiğimizde, A x B kartezyen çarpımında 6 farklı sıralı ikili bulunduğunu buluruz.
Cevap B seçeneğidir.
