A = {a, b} ve B = {1} kümeleri veriliyor. B x A kartezyen çarpım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {(a,1), (b,1)}
B) {(1,a), (1,b)}
C) {(a,b), (1,1)}
D) {(a,1), (b,1), (1,a), (1,b)}
Bu soruda, kümeler konusunda önemli bir kavram olan kartezyen çarpım kümesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım:
- Öncelikle, bize verilen kümeleri dikkatlice inceleyelim: $A = \{a, b\}$ ve $B = \{1\}$.
- Kartezyen çarpım, iki kümeden elemanları alarak sıralı ikililer oluşturma işlemidir. Genel olarak, $X$ ve $Y$ gibi iki küme için $X \times Y$ kartezyen çarpımı, birinci elemanı $X$ kümesinden ve ikinci elemanı $Y$ kümesinden gelen tüm $(x, y)$ sıralı ikililerinin kümesidir. Matematiksel olarak $X \times Y = \{(x, y) \mid x \in X \text{ ve } y \in Y\}$ şeklinde ifade edilir.
- Soruda bizden $B \times A$ kartezyen çarpım kümesini bulmamız isteniyor. Bu, oluşturacağımız sıralı ikililerin birinci elemanının mutlaka $B$ kümesinden, ikinci elemanının ise mutlaka $A$ kümesinden gelmesi gerektiği anlamına gelir. Sıra çok önemlidir!
- $B$ kümesinin elemanları: $1$.
- $A$ kümesinin elemanları: $a, b$.
- Şimdi $B$ kümesindeki her elemanı, $A$ kümesindeki her elemanla eşleştirerek sıralı ikililer oluşturalım:
- $B$ kümesinde sadece bir eleman var: $1$. Bu $1$ elemanını alıyoruz.
- Bu $1$ elemanını $A$ kümesindeki ilk eleman olan $a$ ile eşleştirerek ilk sıralı ikilimizi oluştururuz: $(1, a)$.
- Ardından, $B$ kümesindeki aynı $1$ elemanını $A$ kümesindeki ikinci eleman olan $b$ ile eşleştirerek ikinci sıralı ikilimizi oluştururuz: $(1, b)$.
- Böylece, $B \times A$ kartezyen çarpım kümesi, bu oluşturduğumuz sıralı ikililerden oluşur: $B \times A = \{(1, a), (1, b)\}$.
- Şimdi seçeneklerimize bakalım ve bulduğumuz sonuçla karşılaştıralım:
- A) $\{(a,1), (b,1)\}$: Bu küme, birinci elemanları $A$'dan, ikinci elemanları $B$'den geldiği için $A \times B$ kartezyen çarpım kümesidir. Bizden $B \times A$ istendiği için bu seçenek doğru değildir.
- B) $\{(1,a), (1,b)\}$: Bu küme, bizim bulduğumuz $B \times A$ kümesiyle tamamen aynıdır. Birinci elemanlar $B$'den ($1$), ikinci elemanlar $A$'dan ($a, b$) gelmiştir.
- C) $\{(a,b), (1,1)\}$: Bu küme, kartezyen çarpım tanımına uymayan rastgele sıralı ikililer içerir ve doğru değildir.
- D) $\{(a,1), (b,1), (1,a), (1,b)\}$: Bu küme, hem $A \times B$ hem de $B \times A$ kümelerinin birleşimidir. Sadece $B \times A$ istendiği için bu seçenek de doğru değildir.
Doğru tanımı ve sıralama kuralını uyguladığımızda, $B \times A$ kümesinin $\{(1,a), (1,b)\}$ olduğunu görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
