Sevgili öğrenciler, bu tür kâr-zarar problemlerinde dikkat etmemiz gereken önemli noktalar vardır. Özellikle kâr veya zarar oranının ne üzerinden hesaplandığı (alış fiyatı mı, satış fiyatı mı) bazen belirtilmeyebilir. Bu durumda, sorunun seçenekleri bize yol gösterebilir. Şimdi sorumuzu adım adım çözelim:
- Adım 1: İlk Malın Satış Fiyatını Belirleyelim
- Tüccar, $x$ TL'ye aldığı malı %20 kârla satıyor. Kâr oranının ne üzerinden hesaplandığı belirtilmediğinde genellikle alış fiyatı üzerinden hesaplanır. Ancak, eğer bu şekilde hesaplarsak $x/y=1$ sonucunu buluruz ki bu seçeneklerde yoktur. Bu durumda, kâr oranının satış fiyatı üzerinden hesaplandığını varsayarak ilerlememiz gerekir.
- İlk malın alış fiyatı $x$ TL olsun.
- Satış fiyatı $S_1$ olsun.
- Kâr, satış fiyatının %20'si ise, kâr miktarı $S_1 \cdot \frac{20}{100} = \frac{S_1}{5}$ olur.
- Satış fiyatı, alış fiyatı ile kâr miktarının toplamıdır: $S_1 = x + \frac{S_1}{5}$
- Bu denklemi çözelim: $S_1 - \frac{S_1}{5} = x \Rightarrow \frac{4S_1}{5} = x \Rightarrow S_1 = \frac{5x}{4}$
- Adım 2: İkinci Malın Satış Fiyatını Belirleyelim
- İkinci malın alış fiyatı $y$ TL olsun.
- Satış fiyatı $S_2$ olsun.
- Zarar, satış fiyatının %20'si ise, zarar miktarı $S_2 \cdot \frac{20}{100} = \frac{S_2}{5}$ olur.
- Satış fiyatı, alış fiyatından zarar miktarının çıkarılmasıyla bulunur: $S_2 = y - \frac{S_2}{5}$
- Bu denklemi çözelim: $S_2 + \frac{S_2}{5} = y \Rightarrow \frac{6S_2}{5} = y \Rightarrow S_2 = \frac{5y}{6}$
- Adım 3: "Ne Kâr Ne Zarar Etme" Durumunu Denkleme Dökelim
- Tüccar iki satışın sonucunda ne kâr ne zarar ettiğine göre, toplam alış fiyatı, toplam satış fiyatına eşit olmalıdır.
- Toplam Alış Fiyatı = $x + y$
- Toplam Satış Fiyatı = $S_1 + S_2 = \frac{5x}{4} + \frac{5y}{6}$
- Denklemimiz: $x + y = \frac{5x}{4} + \frac{5y}{6}$
- Adım 4: Denklemi Çözerek $x/y$ Oranını Bulalım
- Denklemdeki kesirlerden kurtulmak için her iki tarafı 4 ve 6'nın en küçük ortak katı olan 12 ile çarpalım:
- $12(x + y) = 12 \left( \frac{5x}{4} + \frac{5y}{6} \right)$
- $12x + 12y = \frac{12 \cdot 5x}{4} + \frac{12 \cdot 5y}{6}$
- $12x + 12y = 3 \cdot 5x + 2 \cdot 5y$
- $12x + 12y = 15x + 10y$
- Şimdi $x$ terimlerini bir tarafa, $y$ terimlerini diğer tarafa toplayalım:
- $12y - 10y = 15x - 12x$
- $2y = 3x$
- Bizden $x/y$ oranı isteniyor. Denklemin her iki tarafını $3y$ ile bölelim:
- $\frac{2y}{3y} = \frac{3x}{3y}$
- $\frac{2}{3} = \frac{x}{y}$
Böylece $x/y$ oranını $2/3$ olarak buluruz.
Cevap B seçeneğidir.
