Q(x) = (m-3)x⁴ + nx^(1/2) + 7 ifadesinin bir polinom olması isteniyor. Buna göre m ve n gerçek sayıları için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) m ≠ 3 ve n = 0 olmalıdır
B) m = 3 ve n = 0 olmalıdır
C) m ≠ 3 ve n ≠ 0 olmalıdır
D) m = 3 ve n ≠ 0 olmalıdır
Bir ifadenin polinom olabilmesi için belirli şartları sağlaması gerekir. Bu şartları adım adım inceleyelim:
- Polinom Tanımı: Bir $P(x)$ ifadesinin polinom olabilmesi için, $x$'in tüm kuvvetlerinin (üslerinin) doğal sayı (yani $0, 1, 2, 3, \dots$) olması ve katsayılarının gerçek sayılar olması gerekir.
- Verilen ifade $Q(x) = (m-3)x^4 + nx^{\frac{1}{2}} + 7$ şeklindedir. Bu ifadeyi terim terim inceleyelim:
- Birinci Terim: $(m-3)x^4$
- Burada $x$'in kuvveti $4$'tür. $4$ bir doğal sayıdır, dolayısıyla bu terim polinom olma şartını sağlar.
- Katsayı $(m-3)$'tür. $m$ bir gerçek sayı olduğu için $(m-3)$ de bir gerçek sayıdır. Bu da polinom olma şartını sağlar.
- İkinci Terim: $nx^{\frac{1}{2}}$
- Burada $x$'in kuvveti $\frac{1}{2}$'dir. $\frac{1}{2}$ bir doğal sayı değildir (bir kesirli sayıdır). Bir ifadenin polinom olabilmesi için $x$'in kuvveti asla kesirli veya negatif olamaz.
- Bu terimin polinom olma şartını sağlaması için tek yol, bu terimin tamamen ortadan kalkmasıdır. Bir terimi ortadan kaldırmanın yolu ise katsayısını $0$ yapmaktır.
- Dolayısıyla, $n$ katsayısı kesinlikle $0$ olmalıdır. Yani, $n=0$.
- Üçüncü Terim: $7$
- Bu bir sabit terimdir. Sabit terimler $7x^0$ şeklinde düşünülebilir. $x$'in kuvveti $0$ bir doğal sayıdır. Bu terim her zaman polinom olma şartını sağlar.
- Şimdi $m$ ve $n$ için bulduğumuz şartları birleştirelim:
- $n$ kesinlikle $0$ olmalıdır.
- $m$ için ise, $(m-3)x^4$ teriminde $x$'in kuvveti $4$ doğal sayı olduğu için, $m-3$ katsayısı herhangi bir gerçek sayı olabilir. Eğer $m=3$ olursa, $(3-3)x^4 = 0x^4 = 0$ olur ve $x^4$ terimi ortadan kalkar. Bu durumda $Q(x) = 7$ olur ki bu da bir polinomdur (sabit polinom). Eğer $m \neq 3$ olursa, $Q(x) = (m-3)x^4 + 7$ olur ki bu da $4$. dereceden bir polinomdur.
- Ancak, soruda $Q(x)$ ifadesi $(m-3)x^4$ terimiyle başladığı ve $x^4$ açıkça belirtildiği için, genellikle bu tür sorularda $x^4$ teriminin polinomun derecesini belirleyen terim olması ve dolayısıyla katsayısının sıfırdan farklı olması beklenir. Yani, polinomun $4$. dereceden bir polinom olması amaçlanır. Bu yaygın bir kabuldür.
- Bu yoruma göre, $(m-3)$ katsayısı $0$ olmamalıdır. Yani, $m-3 \neq 0 \implies m \neq 3$.
- Sonuç olarak, $Q(x)$ ifadesinin bir polinom olması için $n$ kesinlikle $0$ olmalı ve $x^4$ teriminin varlığını koruması (veya polinomun derecesini belirlemesi) beklendiği için $m$ kesinlikle $3$'ten farklı olmalıdır.
Bu durumda, kesinlikle doğru olan seçenek $m \neq 3$ ve $n = 0$ olmalıdır.
Cevap A seçeneğidir.
