Polinom olma şartı 10. sınıf matematik

Question

Polinom olması için bir ifadede değişkenlerin kuvveti doğal sayı olmalı. Mesela üssü negatif ya da kesirli olan terimler polinom belirtmez. Ayrıca değişkenin bir kök içinde yazılmaması da gerekiyor.

Answer 1

Polinom Nedir?

Polinom, gerçek sayılar ve doğal sayı üslerle oluşturulmuş cebirsel ifadelerdir. Bir ifadenin polinom olabilmesi için belirli şartları sağlaması gerekir.

Polinom Olma Şartları

• Değişkenlerin Üsleri Doğal Sayı Olmalıdır: Polinomlarda değişkenlerin kuvvetleri (0, 1, 2, 3, ...) gibi doğal sayılar olmalıdır. Kesirli, negatif veya değişken içeren üsler polinom olma şartını bozar.
• Değişkenler Bölme İşleminde Paydada Bulunmamalıdır: Eğer bir ifadede değişken paydada yer alıyorsa, o ifade polinom değildir.
• Değişkenler Kök İçinde Olmamalıdır: Değişkenlerin kök içinde bulunması, üssün kesirli olmasına neden olacağı için polinom olma şartını bozar.
• Değişkenler Mutlak Değer İçinde Olmamalıdır: Mutlak değer içeren ifadeler genellikle polinom kabul edilmez.

Örneklerle İnceleyelim

Polinom Olan İfadeler:

• \( P(x) = 3x^2 - 5x + 1 \) → Tüm üsler doğal sayı.
• \( Q(x) = 7 \) → Sabit terim, üs 0'dır.
• \( R(x) = x^{100} + 2x \) → Üsler doğal sayı.

Polinom Olmayan İfadeler:

• \( A(x) = 2x^{-2} + 3 \) → Negatif üs var.
• \( B(x) = \sqrt{x} + 5 \) → \( \sqrt{x} = x^{1/2} \), kesirli üs var.
• \( C(x) = \frac{1}{x} + x^2 \) → Değişken paydada.
• \( D(x) = |x| + 3 \) → Mutlak değer içeriyor.

Önemli Uyarılar

• Bir ifadede birden fazla değişken olabilir (örneğin \( P(x,y) = x^2 + y^2 \)). Bu durumda her değişkenin üssü ayrı ayrı doğal sayı olmalıdır.
• Polinomun derecesi, değişkenin en büyük üssüdür. Örneğin \( P(x) = 4x^3 - 2x + 1 \) polinomunun derecesi 3'tür.

Answer 2

Polinom Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir polinom belirtir?
a) \( 3x^2 - \frac{2}{x} + 1 \)
b) \( \sqrt{x} + 5x - 2 \)
c) \( 4x^3 - 2x^2 + x - 7 \)
d) \( x^2 - 3x^{1/2} + 4 \)
e) \( 2x^{-1} + 3x + 5 \)
Cevap: c) \( 4x^3 - 2x^2 + x - 7 \)
Çözüm: Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenin kuvvetlerinin doğal sayı (0, 1, 2, 3, ...) olması gerekir. a) seçeneğinde \( \frac{2}{x} = 2x^{-1} \) (negatif üs), b) seçeneğinde \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) (kesirli üs), d) seçeneğinde \( x^{1/2} \) (kesirli üs), e) seçeneğinde \( x^{-1} \) (negatif üs) bulunduğu için polinom değildir. c) seçeneğindeki tüm terimlerin üsleri doğal sayı olduğundan bir polinomdur.

Soru 2: \( P(x) = (a-2)x^4 + 3x^{b-1} + 5 \) ifadesinin bir polinom olabilmesi için a ve b gerçek sayıları aşağıdakilerden hangisini sağlamalıdır?
a) a = 2, b = 1
b) a ≠ 2, b = 2
c) a ≠ 2, b > 1
d) a ∈ R, b ∈ N
e) a ∈ R, b bir doğal sayı
Cevap: e) a ∈ R, b bir doğal sayı
Çözüm: Bir ifadenin polinom olması için değişkenin üslerinin doğal sayı (0, 1, 2, ...) olması gerekir. \( x^4 \) teriminin katsayısı (a-2) herhangi bir gerçek sayı olabilir, bu yüzden a ∈ R olmalıdır. \( x^{b-1} \) teriminin üssü olan (b-1) bir doğal sayı olmalıdır. Bu da b'nin bir doğal sayı olmasıyla sağlanır.

Soru 3: \( Q(x) = 5x^{2m-3} + 2x^{n+1} - 7 \) ifadesinin bir polinom olabilmesi için m ve n doğal sayıları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) m ≥ 2, n ≥ -1
b) m > 1, n > -1
c) m ≥ 2, n ∈ N
d) m > 1, n ∈ N
e) m ≥ 2, n ≥ 0
Cevap: c) m ≥ 2, n ∈ N
Çözüm: Polinom olma şartı gereği tüm terimlerin üsleri doğal sayı olmalıdır. Birinci terimin üssü \( 2m-3 ≥ 0 \) olmalıdır. Buradan \( m ≥ 1.5 \) bulunur. m bir doğal sayı olduğu için m ≥ 2 olmalıdır. İkinci terimin üssü \( n+1 \) zaten bir doğal sayıdır (çünkü n doğal sayı). Bu nedenle n ∈ N (N: doğal sayılar kümesi) olmalıdır.