Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir ifadenin polinom olabilmesi için hangi şartları taşıması gerektiğini hatırlayarak bu soruyu adım adım çözelim.
-
Polinom Tanımı: Bir $P(x)$ ifadesinin polinom olabilmesi için, $x$ değişkeninin kuvvetlerinin (üslerinin) doğal sayı (yani $0, 1, 2, 3, ...$ gibi negatif olmayan tam sayılar) olması gerekir. Ayrıca, katsayıların da reel sayı olması gerekir.
-
Verilen İfadeyi İnceleyelim: Bize verilen ifade $R(x) = x^{k-2} + 3x + 5$.
-
Kuvvetleri Belirleyelim:
- İlk terimdeki $x$'in kuvveti: $k-2$
- İkinci terimdeki $x$'in kuvveti: $1$ (çünkü $3x = 3x^1$)
- Üçüncü terimdeki $x$'in kuvveti: $0$ (çünkü $5 = 5x^0$)
-
Polinom Şartını Uygulayalım:
- $1$ ve $0$ zaten doğal sayılardır. Bu terimler polinom olma şartını sağlar.
- Ancak, $k-2$ ifadesinin de doğal sayı olması gerekmektedir. Yani, $k-2 \ge 0$ olmalıdır.
-
Eşitsizliği Çözelim:
- $k-2 \ge 0$ eşitsizliğini çözdüğümüzde, $k \ge 2$ sonucunu elde ederiz.
-
$k$ Doğal Sayı Şartını Kullanalım: Soruda $k$'nın bir doğal sayı olduğu belirtilmiştir. Doğal sayılar kümesi $N = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklindedir.
-
$k$ İçin Ortak Değerleri Bulalım:
- $k \ge 2$ şartı, $k$'nın $2, 3, 4, ...$ gibi değerler alabileceğini gösterir.
- $k$ aynı zamanda bir doğal sayı olduğu için, bu iki şartı sağlayan $k$ değerleri $2, 3, 4, ...$ olacaktır.
-
En Küçük Değeri Belirleyelim: $k$'nın alabileceği en küçük doğal sayı değeri, yukarıdaki listeden de görüldüğü gibi $2$'dir.
Bu nedenle, $R(x)$ ifadesinin bir polinom olabilmesi için $k$ doğal sayısının alabileceği en küçük değer $2$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
