Polinom olma şartı 10. sınıf matematik Test 1

C(x) = (k²-4)x³ + (m+2)x + n ifadesi bir polinom belirttiğine göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

A) k ≠ 2 ve k ≠ -2 olabilir
B) m = -2 olabilir
C) n = 0 olabilir
D) k = 2 olabilir

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, verilen bir ifadenin bir polinom belirtmesi durumunda hangi seçeneğin kesinlikle yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Öncelikle bir ifadenin polinom olmasının temel şartlarını hatırlayalım.

• Polinom Nedir?

  Bir $P(x)$ ifadesinin polinom olabilmesi için, $x$'in kuvvetleri (üsleri) doğal sayı (yani $0, 1, 2, 3, \dots$) olmalı ve $x$'in katsayıları gerçek (reel) sayılar olmalıdır. Ayrıca, $x$ değişkeni kök içinde veya paydada bulunmamalıdır.

• Verilen İfadeyi İnceleyelim:

  Bize verilen ifade $C(x) = (k^2-4)x^3 + (m+2)x + n$ şeklindedir.

  • $x$'in kuvvetleri $3$, $1$ ve $0$ (sabit terim $n$ için $n \cdot x^0$ olarak düşünebiliriz) doğal sayılardır. Bu kısımda bir sorun yok.
  • Katsayılar ise $(k^2-4)$, $(m+2)$ ve $n$'dir. Bu katsayıların gerçek sayılar olması gerekir. $k$, $m$, $n$ birer gerçek sayı olduğunda bu katsayılar da gerçek sayı olur.

• Polinomun Derecesi ve Başkatsayısı:

  Bir polinomun derecesi, $x$'in en büyük kuvvetidir. Bu soruda ifade $x^3$ terimiyle başladığı için, genellikle bu tür sorularda ifadenin $3$. dereceden bir polinom olduğu varsayılır. Eğer $3$. dereceden bir polinom ise, $x^3$ teriminin katsayısı sıfır olmamalıdır. Yani, $(k^2-4) \neq 0$ olmalıdır.

  Eğer $(k^2-4) = 0$ olursa, $x^3$ terimi ortadan kalkar ve polinomun derecesi $1$ veya $0$ olur. Bu durumda ifade hala bir polinomdur ancak $3$. dereceden değildir. Soruda "bir polinom belirttiğine göre" ifadesi, genellikle verilen formdaki en yüksek derecenin korunması beklentisini taşır. Bu beklentiye göre ilerleyelim.

• $(k^2-4) \neq 0$ Şartını Uygulayalım:

  Eğer $C(x)$ ifadesinin $3$. dereceden bir polinom olduğunu varsayarsak, $x^3$'ün katsayısı sıfır olmamalıdır:

  $k^2-4 \neq 0$

  $k^2 \neq 4$

  Buradan $k \neq 2$ ve $k \neq -2$ sonuçlarına ulaşırız.

• Seçenekleri Değerlendirelim:

  Şimdi bu şartlar altında seçenekleri tek tek inceleyelim:

  • A) $k \neq 2$ ve $k \neq -2$ olabilir

    Bu, $C(x)$'in $3$. dereceden bir polinom olması için zaten gerekli olan şarttır. Dolayısıyla bu ifade kesinlikle yanlış değildir, aksine doğru olabilir.

  • B) $m = -2$ olabilir

    Eğer $m = -2$ olursa, $m+2 = 0$ olur ve $x$ terimi ortadan kalkar. $C(x) = (k^2-4)x^3 + n$ şeklinde bir polinom elde ederiz. Eğer $k \neq 2$ ve $k \neq -2$ ise, bu hala $3$. dereceden bir polinomdur. Dolayısıyla bu ifade kesinlikle yanlış değildir, doğru olabilir.

  • C) $n = 0$ olabilir

    Eğer $n = 0$ olursa, sabit terim ortadan kalkar. $C(x) = (k^2-4)x^3 + (m+2)x$ şeklinde bir polinom elde ederiz. Eğer $k \neq 2$ ve $k \neq -2$ ise, bu hala $3$. dereceden bir polinomdur. Dolayısıyla bu ifade kesinlikle yanlış değildir, doğru olabilir.

  • D) $k = 2$ olabilir

    Eğer $k = 2$ olursa, $k^2-4 = 2^2-4 = 4-4 = 0$ olur. Bu durumda $x^3$ terimi ortadan kalkar ve $C(x)$ ifadesi $C(x) = (m+2)x + n$ şeklini alır. Bu ifade hala bir polinomdur ancak $3$. dereceden bir polinom değildir (derecesi en fazla $1$ olur). Eğer soruda verilen ifadenin $3$. dereceden bir polinom olduğu varsayılıyorsa, $k=2$ olması bu varsayımı bozar. Bu nedenle, $k=2$ olması durumu, $C(x)$'in $3$. dereceden bir polinom olma şartıyla çelişir ve bu bağlamda kesinlikle yanlıştır.

Bu tür sorularda, genellikle verilen en yüksek dereceli terimin katsayısının sıfır olmaması beklenir. Bu beklentiye göre, $k=2$ olması durumu $C(x)$'in $3$. dereceden bir polinom olmasını engellediği için kesinlikle yanlıştır.

Cevap D seçeneğidir.