D(x) = x^(2t) + 3x^t + 5 ifadesinin bir polinom olabilmesi için t doğal sayısının alabileceği değerler ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) t herhangi bir doğal sayı olabilir
B) t tek sayı olmalıdır
C) t çift sayı olmalıdır
D) t = 0 olmalıdır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen bir ifadenin polinom olabilmesi için $t$ doğal sayısının hangi değerleri alabileceğini bulmamız isteniyor. Haydi adım adım inceleyelim:
- Polinom Nedir?
Bir ifadenin polinom olabilmesi için, değişkenin (burada $x$) kuvvetlerinin (üslerinin) doğal sayı olması gerekir. Doğal sayılar kümesi genellikle $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ olarak kabul edilir. Yani, değişkenin kuvvetleri negatif olamaz, kesirli olamaz, köklü olamaz. Sadece $0, 1, 2, 3, ...$ gibi tam sayılar olabilir.
- Verilen İfadeyi İnceleyelim:
Bize verilen ifade $D(x) = x^{2t} + 3x^t + 5$. Bu ifadede $x$'in kuvvetleri $2t$ ve $t$'dir. Sabit terim olan $5$ ise $5x^0$ olarak düşünülebilir, burada $x$'in kuvveti $0$'dır ve $0$ bir doğal sayıdır.
- Kuvvetlerin Şartını Uygulayalım:
Polinom tanımına göre, $x$'in kuvvetleri olan $2t$ ve $t$ doğal sayı olmalıdır.
Yani:
- $t$ bir doğal sayı olmalıdır.
- $2t$ bir doğal sayı olmalıdır.
- $t$ Doğal Sayı Olursa Ne Olur?
Soruda $t$'nin bir doğal sayı olduğu belirtilmiştir. Eğer $t$ bir doğal sayı ise ($t \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$):
- $t$ zaten doğal sayıdır, bu şart sağlanır.
- $2t$ de her zaman bir doğal sayı olacaktır. Örneğin, eğer $t=0$ ise $2t=0$; eğer $t=1$ ise $2t=2$; eğer $t=5$ ise $2t=10$. Gördüğümüz gibi, $t$ hangi doğal sayıyı alırsa alsın, $2t$ de her zaman bir doğal sayı olur.
- Sonuç:
$t$ doğal sayı olduğu sürece, $x$'in kuvvetleri olan $t$ ve $2t$ her zaman doğal sayı olacaktır. Bu da $D(x)$ ifadesinin her zaman bir polinom olacağı anlamına gelir. Dolayısıyla, $t$ herhangi bir doğal sayı değeri alabilir.
Bu durumda, doğru seçenek $t$'nin herhangi bir doğal sayı olabileceğini söyleyen seçenektir.
Cevap A seçeneğidir.
