Bu soruyu çözmek için, öncelikle verilen her bir kümenin elemanlarını belirlememiz, yani mutlak değer eşitsizliklerini çözmemiz gerekiyor. Ardından, bu iki kümenin birleşimini (union) bulacağız.
- A kümesini bulalım:
- $A = \{x \in R | |x - 2| < 3\}$ ifadesi, $x$ sayısının $2$'ye olan uzaklığının $3$'ten küçük olduğunu belirtir.
- Bu mutlak değer eşitsizliğini şu şekilde açabiliriz: $-3 < x - 2 < 3$.
- Eşitsizliğin her tarafına $2$ ekleyelim: $-3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2$.
- Bu durumda eşitsizlik $-1 < x < 5$ haline gelir.
- Yani, $A$ kümesi açık aralık olarak $A = (-1, 5)$ şeklinde ifade edilir.
- B kümesini bulalım:
- $B = \{x \in R | |x + 1| \leq 2\}$ ifadesi, $x$ sayısının $-1$'e olan uzaklığının $2$'ye eşit veya $2$'den küçük olduğunu belirtir.
- Bu mutlak değer eşitsizliğini şu şekilde açabiliriz: $-2 \leq x + 1 \leq 2$.
- Eşitsizliğin her tarafına $-1$ ekleyelim: $-2 - 1 \leq x + 1 - 1 \leq 2 - 1$.
- Bu durumda eşitsizlik $-3 \leq x \leq 1$ haline gelir.
- Yani, $B$ kümesi kapalı aralık olarak $B = [-3, 1]$ şeklinde ifade edilir.
- A $\cup$ B kümesini bulalım:
- Şimdi $A = (-1, 5)$ ve $B = [-3, 1]$ kümelerinin birleşimini bulacağız. Birleşim, her iki kümede bulunan tüm elemanları içeren kümedir.
- Sayı doğrusu üzerinde düşünelim:
- $A$ kümesi $-1$'den büyük ve $5$'ten küçük tüm sayıları içerir (uç noktalar dahil değil).
- $B$ kümesi $-3$'ten büyük veya eşit ve $1$'den küçük veya eşit tüm sayıları içerir (uç noktalar dahil).
- Birleşim kümesinin başlangıç noktası, iki kümenin başlangıç noktalarından en küçüğü olacaktır. Bu durumda $-3$ (B kümesinden, dahil).
- Birleşim kümesinin bitiş noktası, iki kümenin bitiş noktalarından en büyüğü olacaktır. Bu durumda $5$ (A kümesinden, dahil değil).
- Dolayısıyla, $A \cup B = [-3, 5)$ olur.
Cevap B seçeneğidir.
