İntegral sabiti (c) nedir Test 1

Bir arabanın hız fonksiyonu \( v(t) = 3t^2 - 2t \) olarak veriliyor. Arabanın t=0 anında konumu 10 metre olduğuna göre, konum fonksiyonundaki integral sabiti kaçtır?

A) 5
B) 10
C) 15
D) 20

Bu soruda, bir arabanın hız fonksiyonu verildiğinde, konum fonksiyonunu bulmamız ve başlangıç koşulunu kullanarak integral sabitini belirlememiz isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Hız ve Konum Arasındaki İlişkiyi Anlayalım:

Bir cismin hız fonksiyonu $v(t)$, onun konum fonksiyonu $s(t)$'nin zamana göre türevidir. Yani, $v(t) = \frac{ds}{dt}$'dir. Bu durumda, konum fonksiyonunu bulmak için hız fonksiyonunu zamana göre integralini almamız gerekir. Matematiksel olarak, $s(t) = \int v(t) dt$ şeklinde ifade edilir.

• 2. Hız Fonksiyonunun İntegralini Alalım:

Bize verilen hız fonksiyonu $v(t) = 3t^2 - 2t$. Şimdi bu fonksiyonun integralini alarak konum fonksiyonunu bulalım:

$s(t) = \int (3t^2 - 2t) dt$

İntegral kurallarını uygulayarak her terimin integralini ayrı ayrı alalım:

$s(t) = \int 3t^2 dt - \int 2t dt$

$s(t) = 3 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} - 2 \cdot \frac{t^{1+1}}{1+1} + C$

$s(t) = 3 \cdot \frac{t^3}{3} - 2 \cdot \frac{t^2}{2} + C$

$s(t) = t^3 - t^2 + C$

Buradaki $C$, integral sabitidir ve bu sabiti bulmak için bize verilen başlangıç koşulunu kullanacağız.

• 3. Başlangıç Koşulunu Kullanarak İntegral Sabitini (C) Bulalım:

Soruda, arabanın $t=0$ anında konumunun $10$ metre olduğu belirtiliyor. Yani, $s(0) = 10$. Bulduğumuz konum fonksiyonunda $t$ yerine $0$ yazıp sonucu $10$'a eşitleyelim:

$s(0) = (0)^3 - (0)^2 + C$

$10 = 0 - 0 + C$

$10 = C$

Böylece integral sabitini $C=10$ olarak bulmuş oluruz.

• 4. Sonucu Belirleyelim:

Konum fonksiyonundaki integral sabiti $10$'dur.

Cevap B seçeneğidir.