İntegral sabiti (c) nedir Test 1

Bir eğrinin her noktasındaki eğimi \( \frac{dy}{dx} = 2x \) ile veriliyor. Bu eğri (1, 7) noktasından geçtiğine göre, integral sabiti kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bir eğrinin eğimi verildiğinde, eğrinin denklemini ve integral sabitini nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu tür problemler, türev ve integral arasındaki temel ilişkiyi anlamak için çok önemlidir.

• 1. Adım: Verilen Bilgiyi Anlayalım

  Bize eğrinin her noktasındaki eğimi, yani türevi verilmiş: $ \frac{dy}{dx} = 2x $. Bu ifade, $y$ fonksiyonunun $x$'e göre türevinin $2x$ olduğunu söyler.

  Ayrıca, bu eğrinin $(1, 7)$ noktasından geçtiği bilgisi verilmiş. Bu, $x=1$ olduğunda $y=7$ olduğu anlamına gelir.

• 2. Adım: Eğrinin Denklemini Bulmak İçin İntegral Alalım

  Bir fonksiyonun türevi verildiğinde, orijinal fonksiyonu bulmak için integral almamız gerekir. Yani, $y$ fonksiyonunu bulmak için $ \frac{dy}{dx} = 2x $ ifadesinin $x$'e göre integralini alacağız:

  $ y = \int 2x \, dx $

  İntegral kurallarını hatırlarsak, $ \int ax^n \, dx = a \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ şeklindedir. Burada $a=2$ ve $n=1$ olduğu için:

  $ y = 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} + C $

  $ y = 2 \frac{x^2}{2} + C $

  $ y = x^2 + C $

  Buradaki $C$, integral sabitidir. Bu sabiti bulmak için bize verilen noktayı kullanacağız.

• 3. Adım: İntegral Sabitini (C) Bulmak İçin Verilen Noktayı Kullanalım

  Eğrinin $(1, 7)$ noktasından geçtiğini biliyoruz. Bu, $y = x^2 + C$ denkleminde $x=1$ yazdığımızda $y=7$ olması gerektiği anlamına gelir. Bu değerleri denklemde yerine yazalım:

  $ 7 = (1)^2 + C $

  $ 7 = 1 + C $

• 4. Adım: C Değerini Hesaplayalım

  Şimdi denklemi $C$ için çözelim:

  $ C = 7 - 1 $

  $ C = 6 $

  Böylece integral sabitinin $6$ olduğunu bulmuş oluruz.

Bu durumda, eğrinin denklemi $y = x^2 + 6$ olur.

Cevap D seçeneğidir.