Adım 1: Karmaşık Sayının Genel Tanımı
Bir karmaşık sayı $z$, genel olarak gerçek (reel) kısmı ve sanal (imajiner) kısmı olmak üzere iki bölümden oluşur. Bu, $z = a + bi$ şeklinde ifade edilir.
- Burada $a$, $z$'nin gerçek kısmıdır ve $\text{Re}(z)$ ile gösterilir.
- $b$, $z$'nin sanal kısmıdır ve $\text{Im}(z)$ ile gösterilir.
- $i$, sanal birimdir ve $i^2 = -1$ özelliğine sahiptir.
Adım 2: Gerçek Kısmı Belirleme
Soruda bize $z$'nin gerçek kısmının 4 olduğu verilmiştir: $\text{Re}(z) = 4$.
- Bu bilgiye göre, $z$ karmaşık sayısının gerçek kısmı $a=4$'tür.
- Yani, $z = 4 + bi$ şeklinde bir sayıdır.
Adım 3: Karmaşık Sayının Eşleniği (Konjuge) Tanımı
Bir karmaşık sayı $z = a + bi$ ise, bu sayının eşleniği (veya konjuge) $\bar{z}$ ile gösterilir ve sanal kısmının işaretinin değiştirilmesiyle elde edilir. Yani $\bar{z} = a - bi$ olur.
- Eşlenikte gerçek kısım aynı kalır, sanal kısmın işareti değişir.
Adım 4: Sanal Kısmı Bulma
Soruda bize $z$'nin eşleniğinin $\bar{z} = 4 + 3i$ olduğu verilmiştir.
- Adım 3'teki eşlenik tanımını hatırlayalım: Eğer $z = a + bi$ ise, $\bar{z} = a - bi$ olur.
- Bize verilen $\bar{z} = 4 + 3i$ ifadesini bu tanıma göre inceleyelim.
- Bu durumda, eşleniğin gerçek kısmı $a=4$ ve eşleniğin sanal kısmı $-b=3$ olmalıdır.
- $-b = 3$ eşitliğinden, $b = -3$ sonucunu elde ederiz. Bu, $z$ karmaşık sayısının sanal kısmıdır.
Adım 5: $z$ Karmaşık Sayısını Oluşturma
Şimdi $z$ karmaşık sayısının hem gerçek kısmını ($a$) hem de sanal kısmını ($b$) bulmuş olduk:
- Gerçek kısım $a = 4$ (Adım 2'den).
- Sanal kısım $b = -3$ (Adım 4'ten).
- Bu değerleri $z = a + bi$ genel formunda yerine koyarsak, $z = 4 + (-3)i$ elde ederiz.
- Bu da $z = 4 - 3i$ demektir.
Adım 6: Seçeneklerle Karşılaştırma
Bulduğumuz $z = 4 - 3i$ sonucunu seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $4 + 3i$
- B) $4 - 3i$
- C) $-4 + 3i$
- D) $-4 - 3i$
Görüldüğü gibi, bulduğumuz sonuç B seçeneği ile aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
