1. \( \int (3x^2 + 4x - 5) \, dx \) integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( x^3 + 2x^2 - 5x + C \)Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir polinom fonksiyonunun belirsiz integralini hesaplamamız isteniyor. İntegral alma kurallarını adım adım uygulayarak doğru cevabı bulalım.
Öncelikle, integralini almamız gereken ifadeyi hatırlayalım: $ \int (3x^2 + 4x - 5) \, dx $.
Belirsiz integralin temel kurallarından biri, bir toplamın veya farkın integralinin, terimlerin integrallerinin toplamına veya farkına eşit olmasıdır. Yani, her bir terimi ayrı ayrı integre edebiliriz:
$ \int 3x^2 \, dx + \int 4x \, dx - \int 5 \, dx $
Şimdi her bir terimi ayrı ayrı inceleyelim:
Birinci Terim: $ \int 3x^2 \, dx $
Sabit bir sayıyla çarpılmış bir fonksiyonun integrali, sabitin integral dışına alınmasıyla hesaplanır: $ 3 \int x^2 \, dx $.
Üslü ifadelerin integral kuralı şöyledir: $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ (burada $ n \neq -1 $).
Bu kuralı $ x^2 $ için uygulayalım ($ n=2 $): $ 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 $.
İkinci Terim: $ \int 4x \, dx $
Yine sabiti dışarı alalım: $ 4 \int x^1 \, dx $.
Üslü ifade kuralını $ x^1 $ için uygulayalım ($ n=1 $): $ 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2 $.
Üçüncü Terim: $ \int -5 \, dx $
Bir sabitin integrali, o sabit ile $x$'in çarpımıdır. Yani, $ \int k \, dx = kx + C $.
Bu kuralı $ -5 $ için uygulayalım: $ -5x $.
Şimdi bulduğumuz bu terimleri bir araya getirelim:
$ x^3 + 2x^2 - 5x $
Son olarak, belirsiz integral aldığımız için her zaman bir integral sabiti eklemeyi unutmamalıyız. Bu sabiti genellikle $ C $ ile gösteririz.
Böylece integralin sonucu: $ x^3 + 2x^2 - 5x + C $.
Bu sonucu seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile aynı olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
