Karmaşık sayılarda bölme Test 1

Bir karmaşık sayının $1 + i$ ile bölümünden elde edilen sonuç, orijinal sayının hangi açı kadar döndürülmüş ve ölçeklendirilmiş halidir?

A) 45° saat yönünde ve $\frac{1}{\sqrt{2}}$ katı
B) 45° saat yönünün tersine ve $\frac{1}{\sqrt{2}}$ katı
C) 90° saat yönünde ve $\frac{1}{2}$ katı
D) 90° saat yönünün tersine ve $\frac{1}{2}$ katı

Bir karmaşık sayının başka bir karmaşık sayıya bölünmesi, geometrik olarak orijinal sayının hem açısında (dönme) hem de büyüklüğünde (ölçeklenme) bir değişikliğe neden olur. Bu değişikliği anlamak için karmaşık sayıları kutupsal (polar) formda ifade etmek en kolay yoldur.

• Bölen Karmaşık Sayıyı Kutupsal Forma Çevirelim:

  Bölen karmaşık sayımız $1 + i$'dir. Bu sayının büyüklüğünü (modülünü) ve açısını (argümanını) bulalım:

  • Büyüklük (Modül): $|1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
  • Açı (Argüman): $1+i$ karmaşık düzlemde $(1,1)$ noktasına karşılık gelir. Bu nokta birinci bölgededir. Açısı $\arctan(\frac{1}{1}) = 45^\circ$'dir.

  Dolayısıyla, $1+i$ karmaşık sayısı kutupsal formda $\sqrt{2}(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)$ olarak yazılabilir.

• Genel Bir Karmaşık Sayının Bölme İşlemini İnceleyelim:

  Orijinal karmaşık sayımızı genel olarak $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ şeklinde ifade edelim. Burada $r$ sayının büyüklüğü, $\theta$ ise açısıdır.

  Bir karmaşık sayıyı başka bir karmaşık sayıya bölerken, bölünenin büyüklüğü bölenin büyüklüğüne bölünür ve bölünenin açısından bölenin açısı çıkarılır.

  Yani, $\frac{z}{1+i}$ işleminin sonucu:

  • Yeni Büyüklük: $\frac{\text{Orijinal Büyüklük}}{\text{Bölenin Büyüklüğü}} = \frac{r}{\sqrt{2}}$.
  • Yeni Açı: $\text{Orijinal Açı} - \text{Bölenin Açısı} = \theta - 45^\circ$.
• Sonucu Yorumlayalım:

  Elde ettiğimiz yeni karmaşık sayının büyüklüğü orijinal sayının büyüklüğünün $\frac{1}{\sqrt{2}}$ katı olmuştur. Bu, sayının $\frac{1}{\sqrt{2}}$ oranında ölçeklendiği anlamına gelir.

  Yeni açısı ise orijinal açının $45^\circ$ küçültülmüş halidir. Açının $45^\circ$ azalması, karmaşık sayının saat yönünde $45^\circ$ döndürüldüğü anlamına gelir.

• Seçeneklerle Karşılaştırma:

  Bulduğumuz sonuçlar şunlardır:

  • Dönme: $45^\circ$ saat yönünde.
  • Ölçeklenme: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ katı.

  Bu durum, A seçeneğinde verilen ifadeyle tamamen uyuşmaktadır.

Cevap A seçeneğidir.