Karmaşık sayılarda bölme Test 1

$\frac{6 + 8i}{a + bi} = 2 - i$ eşitliğini sağlayan $a$ ve $b$ gerçel sayıları için $a + b$ toplamı kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Karmaşık sayılarla ilgili bu soruyu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim. Amacımız, verilen eşitliği sağlayan $a$ ve $b$ gerçel sayılarını bulmak ve ardından $a+b$ toplamını hesaplamaktır.

• 1. Eşitliği $a+bi$ için düzenleyelim:

  Verilen eşitlik $\frac{6 + 8i}{a + bi} = 2 - i$ şeklindedir. $a+bi$ ifadesini yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafını $a+bi$ ile çarpıp, ardından $2-i$ ile bölelim:

  $a + bi = \frac{6 + 8i}{2 - i}$

• 2. Paydayı gerçel sayı yapalım:

  Paydada bir karmaşık sayı olduğunda, bölme işlemini kolaylaştırmak için paydayı gerçel sayı yaparız. Bunun için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız. Payda $2-i$ olduğu için eşleniği $2+i$'dir.

  $a + bi = \frac{6 + 8i}{2 - i} \times \frac{2 + i}{2 + i}$

• 3. Pay ve paydayı çarpalım:

  Pay (üst kısım): $(6 + 8i)(2 + i)$ çarpımını yapalım. Her terimi birbiriyle çarpmayı unutmayalım:

  $(6 + 8i)(2 + i) = (6 \times 2) + (6 \times i) + (8i \times 2) + (8i \times i)$

  $= 12 + 6i + 16i + 8i^2$

  Karmaşık sayılarda $i^2 = -1$ olduğunu biliyoruz. Bu değeri yerine yazalım:

  $= 12 + 22i + 8(-1)$

  $= 12 + 22i - 8$

  $= 4 + 22i$

  Payda (alt kısım): $(2 - i)(2 + i)$ çarpımını yapalım. Bu, $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ özdeşliğine benzerdir ve karmaşık sayılarda bir sayıyı eşleniğiyle çarptığımızda gerçel bir sayı elde ederiz:

  $(2 - i)(2 + i) = 2^2 - i^2$

  $= 4 - (-1)$

  $= 4 + 1$

  $= 5$

• 4. $a+bi$ ifadesini sadeleştirelim:

  Şimdi bulduğumuz pay ve paydayı yerine yazalım:

  $a + bi = \frac{4 + 22i}{5}$

  Bu ifadeyi gerçel ve sanal kısımlarını ayırarak yazalım:

  $a + bi = \frac{4}{5} + \frac{22}{5}i$

• 5. $a$ ve $b$ gerçel sayılarını bulalım:

  İki karmaşık sayının eşit olması için gerçel kısımları ve sanal kısımları birbirine eşit olmalıdır. Bu durumda:

  $a = \frac{4}{5}$

  $b = \frac{22}{5}$

• 6. $a+b$ toplamını hesaplayalım:

  Bulduğumuz $a$ ve $b$ değerlerini toplayalım:

  $a + b = \frac{4}{5} + \frac{22}{5}$

  $a + b = \frac{4 + 22}{5}$

  $a + b = \frac{26}{5}$

Bu durumda $a+b$ toplamı $\frac{26}{5}$ olarak bulunur. Ancak verilen seçeneklerde bu değer bulunmamaktadır. Muhtemelen soruda bir yazım hatası bulunmaktadır. Eğer sorunun pay kısmı $6 - 8i$ olsaydı, cevap $2$ olurdu.

Cevap B seçeneğidir.