xⁿ ifadesinin integrali Test 1

Bir mühendis, projesinde ∫xⁿ dx formülünü kullanarak ∫x⁷ dx integralini hesaplıyor. Doğru sonuç aşağıdakilerden hangisidir?

A) 7x⁶ + C
B) x⁸/8 + C
C) x⁷/7 + C
D) 8x⁸ + C

Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için integralin temel kurallarından biri olan "kuvvet kuralını" hatırlamamız gerekiyor. Bir fonksiyonun integralini alırken, bu kural bize çok yardımcı olur.

• 1. İntegralin Kuvvet Kuralını Hatırlayalım:

  Genel olarak, $x^n$ şeklindeki bir ifadenin belirsiz integrali şu formülle bulunur:

  $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

  Burada $n$, herhangi bir reel sayı olabilir (ancak $n \neq -1$ olmalıdır, çünkü bu durumda payda sıfır olur ve farklı bir integral kuralı uygulanır). $C$ ise integral sabiti olup, integral alma işleminden sonra her zaman eklenir çünkü türevi sıfır olan sonsuz sayıda sabit sayı olabilir.

• 2. Sorudaki İfadeyi Kurala Uygulayalım:

  Bize verilen integral $\int x^7 dx$ şeklindedir.

  Bu ifadede, $n$ değerimiz $7$'dir.

• 3. İntegrali Hesaplayalım:

  Şimdi $n=7$ değerini kuvvet kuralı formülüne yerleştirelim:

  $\int x^7 dx = \frac{x^{7+1}}{7+1} + C$

  Hesaplamayı yaptığımızda:

  $\int x^7 dx = \frac{x^8}{8} + C$

• 4. Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz sonuç olan $\frac{x^8}{8} + C$ ifadesini seçeneklerle karşılaştırdığımızda:

  • A) $7x^6 + C$
  • B) $x^8/8 + C$
  • C) $x^7/7 + C$
  • D) $8x^8 + C$

  Görüyoruz ki, bulduğumuz sonuç B seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.